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1、 1 专题九推理与证明(见学生用书P59)(见学生用书P59)一、推理1合情推理(1)归纳推理定义：由某类事物的部分对象具有的某些特征，推出该类事物全部对象都是具有这些特征的推理分类：完全归纳和不完全归纳特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理(2)类比推理定义：两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理特点：类比推理是由特殊到特殊的推理2演绎推理模式：三段论(1)大前提已知的一般原理(2)小前提所研究的特殊情况(3)结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断特点：演绎推理是由一般到特殊的推理二、证明1直接证明(1)综合法定义：利用已知条件和某些数学定
2、义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法框图表示：(其中P表示条件，Q表示要证结论)(2)分析法定义：要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止这种证明方法叫做分析法框图表示：2间接证明反证法：假设原命题结论的反面成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法3数学归纳法(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0时命题成立(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立，
3、只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立(见学生用书P60)考点一合情推理考点精析1由某类事物的部分对象具有的某些性质，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)简言之，归纳推理是由部分到整体、由个体到一般的推理2由两类对象具有某些类似的特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理例 11(20xx上海模拟)有下列各式：11，1，12，则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：_.考点：归纳推理分析：观察各式左边为的和的形式，项
4、数分别为：3，7，15，故可猜想第n个式子的项数，不等式右侧式子分别写成，故猜想第n个式子，由此可写出一般的式子解析：观察各式左边为的和的形式，项数分别为：3，7，15，故可猜想第n个式子中应有2n11项，不等式右侧分别写成，故猜想第n个式子应为，按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：1(nN*)答案：1(nN*)点评：本题考查归纳推理，考查观察、分析、解决问题的能力，关键是猜想第n个式子与n的关系规律总结尽管合情推理得到的结果不一定正确，但它是科学发现和创造的基础，因而是近几年高考重点考查对象高考对合情推理的考查，题型较为灵活，以填空和选择题为主，难度中等，区分度较大，因而是我们二轮复习中需
5、要重点突破的地方，其中归纳推理问题是热点问题变式训练【11】 (20xx广州模拟)请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足aa1，那么a1a2.证明：构造函数f(x)(xa1)2(xa2)22x22(a1a2)x1，因为对一切实数x，恒有f(x)0，所以0，从而得4(a1a2)280，所以a1a2.根据上述证明方法，若n个正实数满足aaa1时，你能得到的结论为_解析：构造函数f(x)(xa1)2(xa2)2(xan)2nx22(a1a2an)x1，由对一切实数x，恒有f(x)0，所以0，得a1a2an.答案：a1a2an【12】 (20xx师大附中模拟)已知2，3，4，若6(a，t均为正实数
6、)，则类比以上等式，可推测a，t的值，at_解析：观察下列等式：2，3，4，照此规律，第5个等式中：a6，ta2135，at41.答案：41考点二反证法考点精析1反证法证明数学命题的一般步骤是：(1)反设：假设所要证明的结论不成立，而设结论的反面成立(2)归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾(3)结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论的成立运用反证法的关键是导出矛盾2宜用反证法证明的题型：(1)一些基本命题、基本定理(2)易导出与已知矛盾的命题(3)“否定性”命题(4)“唯一性”命题(5)“必然性”命题(6)“至多”、“至少”类命题
7、(7)涉及“无限”结论的命题等等例 21(20xx陕西卷)设an是公比为q的等比数列(1)推导an的前n项和公式；(2)设q1，证明数列an1不是等比数列考点：等比数列的概念、通项公式及反证法分析：利用等比数列的概念及通项公式推导前n项和公式，利用反证法证明要证的结论解析：(1)设an的前n项和为Sn，当q1时，Sna1a1a1na1；当q1时，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn(2)假设an1是等比数列，则对任意的kN，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1a
8、1qk1a1qk1a1qk1，a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，这与已知矛盾假设不成立，故an1不是等比数列点评：本题考查了等比数列的概念，通项公式与反证法，考查了利用反证法证明有关命题的能力，一般对于唯一命题，否定性命题，存在性问题或直接证明比较困难等命题的证明，都可考虑用反证法证明规律总结反证法可应用于数学证明的各个方面，只要是直接证明有困难的，且有可能从结论的否定推出矛盾的都可以尽管在高考中较少要求用反证法证明，但有时命题者为了考查反证法掌握的程度，有意设置成宜用反证法证明的问题因此，我们必须熟练掌握这一方法变式训练【21】 等差数列an的前n项和为Sn，a11，S3
9、93.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列解析：(1)由已知得d2，故an2n1，Snn(n)(2)证明：由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则bbpbr，即(q)2(q)(r)，(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，pr，则(pr)20，pr，这与pr矛盾，所以数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列考点三数学归纳法考点精析1当n取第一个值n0(例如n1)时，证明命题成立2假设当nk(kN*，kn0)时命题成立，并证明当nk1时，命题也成立，于是对一
10、切nN*，nn0，命题都成立这种证明方法叫做数学归纳法运用数学归纳法证明命题要分为两步第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，这两步是缺一不可的例 31(20xx广州模拟)已知数列，计算S1，S2，S3，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明考点：数学归纳法分析：由题意得S1a1，由S2a1a2求得S2，同理求得S3，S4.猜想Sn，nN，用数学归纳法证明检验n1时，猜想成立；假设当nk时，Sk成立，则当nk1时，由条件可得Sk1也成立，从而猜想成立解析：S1，S2，S3，猜想：Sn.证明：(1)当n1时，由上面计算知猜想正确(2)假设nk时等式成立，即Sk，则当nk1时，Sk
11、1Skak1，当nk1时结论成立，由(1)、(2)知，等式对任意正整数都成立点评：本题主要考查数学归纳法的应用，用数学归纳法证明数学命题时的基本步骤：(1)检验n1时成立，(2)假设nk时成立，由nk时成立推导nk1时成立，要注意由归纳假设到检验nk1的递推规律总结数学归纳法是数学证明的一个重要方法，而且在课程标准和考试大纲都明确地提出了要求因而它也是高考重点考查的对象在高考中，除偶尔明确了要用数学归纳法证明外，一般没有明确要求，这就需要考生灵活选用它来进行证明，因此我们必须熟练掌握这一方法变式训练【31】 (20xx长沙市一中模拟)已知如下等式：12，1222，122232，当nN*时，试猜
12、想122232n2的值，并用数学归纳法给予证明解析：由已知，猜想122232n2，下面用数学归纳法给予证明：(1)当n1时，由已知得原式成立；(2)假设当nk时，原式成立，即122232k2，那么，当nk1时，122232(k1)2(k1)2.故nk1时，原式也成立由(1)(2)知，122232n2成立.(见学生用书P62)例 1已知a，b，c是互不相等的非零实数求证：三个方程ax22bxc0，bx22cxa0，cx22axb0至少有一个方程有两个相异实根考场错解：假设三个方程都没有两个相异实根，则14b24ac0，24c24ab0，34a24bc0，相加有a22abb2b22bcc2c22aca20，(*)即(ab)2(bc)2(ca)20，此不等式不能成立，所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根专家把脉：上面解法的错误在于认为“方程没有两个相异实根
