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1、参课题从不同数学思想角度谈解三角形解三角形是近些年高考的热点，各省市的命题人在命题方向上标新立异，但是我们可以从不同的方向 上来解析历年省市的真题、各地的模拟题，从而探索解三角形的热点命题规律，进一步的提升对该知识点 的解题能力。转化与化归思想方法在研究、解决数学问题中，当思维受阻时考虑寻求简单方法或从一种情形转化到 另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功 的思维方式.利用正、余弦定理，通过“边化角、角化边、切化弦等”的角度对问题进行转化，转化为熟悉的三角 恒等变换、三角函数、平面向量等问题，再进行求解.1 在三角形ABC中，角A、B、C所
2、对的边分别为- tanA 2ca、b、c,已知 a= 2 , 3, c= 2,2, 1 + nB 则C等于（B. 45A . 30C. 45或 135D. 60【解析】由 1 + tanA=和正弦定理得 cos Asin B+ sin Acos B= 2sin Ccos A，即 sin C= 2sin Ccos A，.又 cv a,二 Cv 60 故 C = 45. cos A= 60由正弦定理，得 获=科|，则sin C=【答案】选C2.在三角形ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且 a2= b2+ c2 + , 3bc.若 a = . 3, SABC的面积，则 S+ 3cos
3、 Bcos C的最大值为（）又 a=，3,故 S= 2bcsin A=默 asin C【解析】由cos A=啤二=七学一宁A = 5n，2bc2bc2 6=3sin Bsin C,因此 S+ 3cos Bcos C = 3sin Bsin C+ 3cos Bcos C= 3cos (B C),于是当 B= C 时取得最大值3.【答案】选A3已知三角形ABC的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的 2倍，贝U最小内角的余弦值为（）3一4 7 - w5一6 2 - 3 BD【解析】 依题意，不妨设三边长 a = m 1, b= m, c= m+ 1，其中m2, m N，则有C = 2A
4、, sin C,2. 2 2 b + c a=sin 2A = 2sin Acos A，由正、余弦定理得 c= 2a ，则2bc2b2+ c2 a2 52+ 62 421)(m2+ 4m)，解得 m = 5，故 cos A=2bc2八 222、bc2 = a(b2c2 a2)，于是 m(m+ 1)2= (m2 3.【答案】选A4.在锐角三角形 ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c, a+a=6cos C，则詈C+赛的值【解析】由+ a= 6cos C,得 b2 + a2= 6abcos C.化简整理得 2(a2 + b2)= 3c2,将詈C+ tmC切化弦，sin C 得庞cos A
5、 cos B sin C(A+ B)sin C sin C)= = B cos C sin Asin B cos C sin Asin Bsin A + sinsin 2Ccos Csin Asin B.根据正、余弦定理得sin2Ccos Csin Asin B2 2c 2c2 ,22= 2 ,2 2a + b c a + b c ab 2ab2c2仝 =4.【答案】43 222c c5 .在 ABC 中，B = 60 AC =百,【解析】由正弦定理知sABC=总-sin A，则AB+ 2BC的最大值为BC AB= 2sin C, BC= 2sin A.又 A+ C= 120 AB+ 2BC=
6、 2sin C+ 4sin(120 C)= 2(sin C + 2sin 120 cos C 2cos 120 sin C)=2(sin C + . 3cos C+ sin C)= 2(2sin C + . 3cos C) = 2,7sin(C+ a,其中tan a= 23, a是第一象限角，由于 0 C V 120且a是第一象限角，因此AB + 2BC有最大值2 .7.【答案】2 ,76.在厶ABC中，内角A, B, C所对的边长分别为 a, b, c,已知tan才+ A = 2.sin 2A2sin 2A + cos A的值;若B = n，a= 3,求厶ABC的面积.【解】(1)由 tan
7、 n+A = 2,得 tan A= 3,sin2A- 2sin2A+ cos A2ta n A2tan A+ 11(2)由 tan A= 3, A (0,n，得 sin A =cos A=3.1010.1010，又由a=4 由 cos A= 5, 0vAv n,得 sin A= 5, , B=4及正弦定理 聶=爲，得b=35由 sin C= sin (A+ B)= sin (A + 才)，得 sin C = 2J51,则a的取值范围是（）贝廿 ABC 的面积 S= qabsin C= 9.【变式1 - 1】钝角三角形的三边长为a, a+ 1, a + 2,其最大角不超过120A . Ov av
8、 33B. av 3C. 2v a a + 2,则a1.由大边对大角可知，边长为a+ 2的边对应的角 B最大，由余弦定理得2cos 0=222a + (a + (a+ 2) (0,-2),得2a(a+ 1)v 3 .【答案】选B【变式1 2】若满足条件C = 60 AB = 3, BC= a的三角形ABC有两个，那么a的取值范围是（）A . (1 , .2)B. ( .2,3)D. (1, 2)C. ( 3, 2)【解析】因为C= 60 AB= ,3，由正弦定理，得 雄=sBCA= 2，二a= 2 sin A，又A + B = 120 且三角形有两解， 60 v Av 120 且A90 即v
9、sin Av 1,得,3v a v 2.答案】 选CA 一 b【变式1 3】在厶ABC中，角A , B , C的对边分别为 a , b , c ,且2cos2 cos B sin(A B)sin B3+ cos(A+ C)=-：5(1)求cos A的值;若a= 4 2, b= 5，求向量BA在BC方向上的投影.2A B3【解】(1)由 2cos2cos B sin(A B)sin B + cos(A+ C)=:,2 53得cos(A B)+ 1cos B si n(A B)sin B cos B=；,53 即 cos(A B)cos B sin(A B)sin B = 5.33则 cos(A
10、B+ B)=- 5,即卩 cos A=- 5.由正弦定理，有asin Absin B，所以sin B =n由题知ab，则A B，故B = 4.根据余弦定理，有（42）2=52+ c2- 2X5cX3，解得c=1或c=7（舍去）.故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cos B = 22.角度二：函数与方程思想函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题方程思想，是从问题中的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组 ），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解.有时，还通过函数与方程的互相转化、 接轨，达到解决问题 的目的
11、.1 .在 ABC中，角 A, B, C所对的边长分别为 a, b, c,且满足csin A = ；3acos C,贝U sin A+ sin B 的最大值是（）A. 1B.,2C.3D. 3【解析】 由 csin A = V3acos C,得 sin Csin A=sin Acos 6在厶ABC 中 sin A工0 所以 sin C = V3cosC,ntan C= 3, C (0, n )贝U C= 3.所以 sin A+ sin B = sin A+ sin3_3?s in A+ cosA= , 3sin A+n,（2 n、n0,亍，所以当A= 3时，sin A+ sin B取得最大值
12、3.【答案】 选C2.在厶ABC 中，D 为 BC 边上一点，DC = 2BD , AD = 2，/ ADC = 45,若 AC = . 2AB，贝U BD 等B. 4A . 2 + .3C. 2+ ,5【解析】 在厶ADC 中，AC2= AD2+ DC2 2AD DC cos 45 =2 + DC2 2y2 DC 2= 2 + DC2 2DC ;在厶ABD 中，AB2= BD2+ AD2 2BD AD cos 135 = BD2+ 2+ 2 , 2 BD = 2 (2 + BD2+ 2BD)，整理得BD2 4BD 1 = 0,解得BD = 2 + 5或2 .5(舍去).【答案】 选C3.在三
13、角形 ABC 中，2sin2 A= . 3sin A, sin (B C) = 2cos Bsin C,则AC2 AB【解析】2sin2 A2 =si n A? 1 cos A =y3s in A? si n (A + 6) = 2 .因为 o Av nA+ 6 F，则 A+ n= 56n,所以 A= 2n.再由余弦定理，得 a2= b2+ c2 + bc,；将 sin (B C)= 2cos Bsin C 展开得 sin 663Bcos C= 3cos Bsin C,将其角化边,得= cl迈，即2b2-2c2= a2,；将代入,得b2 3c2 bc= 0,左右两边同除以c-3=0，解得 r1 +13 或 c= (舍去),ACABbc【答案】(2)由(1)得bsin Ba = csin A sin C1+ .1324 .在 ABC中，角 A, B, C所对的边长分别为 a, b, c,已知bcos C+. 3bsin C a c= 0.(1)求 B ；若b = .3,求2a+ c的取值范围.【解】(1)由正弦定理知 sin Bcos C+ 3sin Bsin C sin A sin C = 0,将 sin A= sin (B+ C) = sin Bcos C + cos Bsin C 代入上式
