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1、一、教学内容：函数的奇偶性二、学习目标1、通过具体实例理解函数的奇偶性概念及其几何意义，学会运用函数图象理解和研究函数的性质，学会运用定义判断函数的奇偶性。2、通过设置问题情景培养观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；3、通过学习，进一步体会数形结合的思想，感受从特殊到一般的思维过程；通过函数图象的描绘及奇偶性的揭示，体会数学的对称美，和谐美。三、知识要点1、奇偶函数定义：（1）偶函数一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函数（2）奇函数一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（x）=f（x），
2、那么f（x）就叫做奇函数注意：函数是奇函数或偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；奇偶函数的定义域的特征：关于原点对称。由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）奇函数若在时有定义，则2、根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。3、具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称说明：一般地，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于轴对称，反过来，如果
3、一个函数的图象关于轴对称，那么这个函数是偶函数。4、判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定f（x）与f（x）的关系；作出相应结论：若f（x） = f（x） 或 f（x）f（x） = 0，则f（x）是偶函数；若f（x） =f（x） 或 f（x）f（x） = 0，则f（x）是奇函数5、判断函数的奇偶性也可以用下列性质在公共定义域内，（1）两个奇函数的和为奇函数；两个奇函数的积为偶函数（2）两个偶函数的和为偶函数；两个偶函数的积为偶函数（3）一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数（4） 函数f （x）与同奇或同偶【典型例题】一、判断函数的奇偶性例1、判断函数
4、的奇偶性时易犯的错误（1）因忽视定义域的特征致错1、；f （x）=x2+（x+1）0错解：， f （x）是奇函数 f （x）=（x）2+（x+1）0=x2+（x+1）0=f （x） f （x）是偶函数分析：一个函数是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称正解：定义域（，1）（1，+）关于原点不对称，f （x）是非奇非偶函数定义域（，1）（1，+）， f （x）为非奇非偶函数（2）因缺乏变形意识或方法致错2、判断的奇偶性错解： 5x10， x0f （x）的定义域为（，0）（0，+），关于原点对称 ， f （x）f （x），f （x）f （x）， f （x）是非奇非偶函数分析：因演变过程不到
5、位导致错误，所以要注意进行恒等变形正解：，定义域为（，0）（0，+）关于原点对称 f （x）是奇函数（3） 因忽视f （x）=0致错3、判断函数的奇偶性错解：由得x=2， f （x）的定义域为2，2，关于原点对称， f （x）为偶函数正解：f （x）的定义域为2，2，此时，f （x）=0， f （x）既是奇函数又是偶函数点评：函数f （x）=0 （x0）是f （x）既是奇函数又是偶函数的一个必要条件，任何一个关于原点对称的区间都可以作为解析式为f （x）=0 （x0）函数的定义域（4）因分段函数意义不清致错4、判断函数的奇偶性错解一： f （x）=x2+x1非奇非偶，f （x）=x2+x+1也
6、非奇非偶，非奇非偶错解二：x0时，f （x）=x2+x+1；x0时，f （x）=x2+x1即f （x）=x2+x1， f （x）f （x），f （x）f （x）， f （x）为非奇非偶函数分析：错解一中把f（x）看成了几个函数；错解二中把x0误认为x的情形正解：函数f （x）的定义域为（，0）（0，+），关于原点对称当x0，f （x）=（x）2+（x）+1=x2x+1=（x2+x1）=f （x）；当x0时，x0f （x）=（x）2+（x）1=x2x1=（x2+x+1）=f （x） x（，0）（0，+）时，f （x）=f （x）， f （x）是奇函数点评：分段函数奇偶性的判定应注意两点：（1）分
7、段函数是一个函数，而不是几个函数；（2）确定分段函数的奇偶性，要注意分类讨论说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶性应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是，即可断定函数是非奇非偶函数例2、判断函数的奇偶性解法一：当时，则；当x0时，x0，于是综上可知，在上，是奇函数解法二：画出函数的图象。当时，的图象是抛物线的右半支；当时，的图象是抛物线的左半支。显然，这两条曲线（如图所示）关于原点对称，因此函数在上是奇函数规律：偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据二、函数的奇偶性与单调性的关系例3、已知：函数在
8、上是奇函数，而且在上是增函数，证明：在上也是增函数。证明：设，则在上是增函数。，又在上是奇函数。，即所以，在上也是增函数。规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致例4、为上的奇函数，当时，当x0时，求解：设，由于是奇函数，故，又，由已知有从而解析式为例5、（1）已知的定义域为，且，试判断的奇偶性。（2）函数的定义域为，且对于一切实数都有，试判断的奇偶性。解：（1）的定义域为，且 令式中为得： 解得，定义域为关于原点对称又是奇函数。（2）定义域关于原点对称，又令得则，再令得， 所以，原函数为奇函数。本讲涉及的主要数学思想方法：1、通过函数奇偶性概念的形
9、成过程，增强观察、归纳、抽象的能力；增强从特殊到一般的概括能力；渗透数形结合的数学思想方法2、理解奇偶函数的概念，培养观察分析能力、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点。3、通过对问题的探究，进一步体会“形象思维与抽象思维相结合”的思想方法【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1、已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=f（x），则，f（6）的值为 （ ） A. 1B. 0C.1D. 2 2、若奇函数f（x）在3，7上是增函数且最小值为5，那么f（x）在7，3上是（ ） A. 增函
10、数且最小值为5B. 增函数且最大值为5 C. 减函数且最小值为5D. 减函数且最大值为53、y=f（x）是定义在R上的偶函数，则下列坐标所表示的点在y=f（x）的图象上的是（ ）A. （a，f（a）B. （a，f（a）C. （a，f（a）D. （a，f（a）4、已知yf（x）是奇函数，当x0时，f（x）x（1x），当x0时，f（x）等于 A. x（1x）B. x（1x）C. x（1x）D. x（1x）*5、函数y=f（x）与y=g（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）g（x）的图象可能为（ ）*6、设是上的任意函数，下列叙述正确的是（ ）A、是奇函数； B、是奇函数；C、是偶函数； D、是偶
11、函数二、填空题7、设函数为奇函数，则实数 。*8、已知函数y=f （x）满足f （x+y）+f （xy）=2f （x） f （y） （xR，yR），且f （0）0，那么f （x）是_函数（填奇、偶）*9、已知函数，若，则的值为 。三、解答题10、已知：函数在上是奇函数，而且在上是增函数，证明：在上也是增函数。*11、为上的奇函数，当时，求的解析式。*12、已知函数；（1）判断函数的奇偶性；（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围。试题答案一、选择题：1、B 解：根据题目所给的条件：f（x+2）=f（x）； f（6）=f（4）=f（2）=f（0） 又f（x）是奇函数，因此f（0）=f（0），f
12、（0）=0 因此f（6）=f（0）=02、B3、B解：当x=a时，f（a）=f（a）（y=f（x）为偶函数），点（a，f（a）在y=f（x）的图象上选（B）4、B解：当x0时，f（x）=f（x）=（x）（1x）=x（1x）选（B）5、A6、C 解：A中：则，即函数为偶函数；B中：，此时与的关系不能确定，即函数的奇偶性不确定；D中：，即函数为奇函数；C中，即函数为偶函数，故选择答案C二、填空题7、18、偶9、26 解：构造函数，则一定是奇函数又， 因此 所以，即三、解答题10、证明：设，则在上是增函数。，又在上是奇函数。，即所以，在上也是增函数。11、解：设，由于是奇函数，故，又，由已知有从而解析式为12、解：（1）当时，为偶函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数.（2）设，由得，；要使在区间上是增函数只需，即恒成立，则
