《福建师范大学21秋《复变函数》在线作业三满分答案94》由会员分享，可在线阅读，更多相关《福建师范大学21秋《复变函数》在线作业三满分答案94（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、福建师范大学21秋复变函数在线作业三满分答案1. 证明：函数F(x，y，z)在点P0(x0，y0，z0)处的梯度向量是函数F(x，y，z)在点P0(x0，y0，z0)处的等位面的法证明：函数F(x，y，z)在点P0(x0，y0，z0)处的梯度向量是函数F(x，y，z)在点P0(x0，y0，z0)处的等位面的法向量正确答案：2. 在1，2，500中，有多少个不可被7整除，但可被3和5整除的整数?在1，2，500中，有多少个不可被7整除，但可被3和5整除的整数?设S=1，2，500，以A1，A2分别表示S中可被15和7整除的整数集合，则问题归结为求|A1-A2|。=33-4=293. 一曲边梯形由
2、曲线y=2x2+3，x轴及x=-1，x=2所围成，试列出用定积分表示该曲边梯形的面积表达式一曲边梯形由曲线y=2x2+3，x轴及x=-1，x=2所围成，试列出用定积分表示该曲边梯形的面积表达式S=-12(2x2+3)dx4. 在有向图D中，结点间的可达关系满足什么性质?在有向图D中，结点间的可达关系满足什么性质?自反性，传递性 结点vi与vi显然连通(可达)，满足自反性；若vi可达vi，vj可达vk，则vi可达vk，满足传递性；由于有向图中的边是有方向的，vi可达cj，未必有另一条边使vj，可达vi，故不满足对称性 5. 下列等式中是微分方程的有( ) Au&39;v+uv&39;=(uv)&
3、39; By&39;-ex=cosx C Dy+3y&39;+下列等式中是微分方程的有()Auv+uv=(uv)By-ex=cosxCDy+3y+8y=4exBD选项(A)中，uv+uv=(uv)是求导公式，对于任何函数，左右两边恒等，因此不是微分方程； 选项(B)中，可将y视为关于x的未知函数，并且出现了y的导数形式，因此是微分方程； 选项(C)中，对于任何函数，左右两边恒等，因此不是微分方程 选项(D)中，可将y视为关于x的未知函数，并且出现了y的导数形式，因此是微分方程 6. 求半径为R的均匀球面(设面密度为1)对空间一单位质点的引力求半径为R的均匀球面(设面密度为1)对空间一单位质点的
4、引力在球面上的任取一点(x，y，z)和含此点的面积微元dS(取定坐标系如图所示， 定点在(0，0，a)处 则 dF的三个分量为 ， 所求力F=Fx，Fy，Fz 则由对称性知 Fx=Fy=0 而 球面参数方程为 x=Rcossin，y=Rsinsin z=Rcos 所以 dS=R2sindd， 故 注意引力是一个向量向量的叠加不能用模去加，必须用分量去加 令a2+R2-2aRcos=t2 则 所以 此结果表明：当质点在球内，引力为零；当质点在球外，引力如同球面的质量集中于球心时对该点的引力 注：我们可以在此题基础上，对题给出另一种解法，即求均匀球体对单位质点的引力不妨只就aR的情况来做，我们用x
5、2+y2+z2=r2来分割球体当r0时，认为球壳r2x2+y2+z2(r+r)2为均匀球面，半径为r则只考虑ra这个球壳的面密度在数值上为dr(体密度为1)于是这一层对定点的引力为 所以 (aR) 所得结果与题完全一致读者不难仿此得到当aR的情况 7. 若fL(X)，则( )A.f在X上几乎处处连续B.存在gL(X)使得|f|=gC.若Xfdu=0，则f=0，a.e.参考答案：B8. f在a，b上为增函数，则f的导数f&39;L1a，b。( )A.正确B.错误参考答案：A9. 设F(x，y)=lnxlny，证明：若u0，v0，则 F(xy，uv)F(x，u)+F(x，v)+F(y，u)+F(y
6、，v)设F(x，y)=lnxlny，证明：若u0，v0，则F(xy，uv)F(x，u)+F(x，v)+F(y，u)+F(y，v)F(xy，uv)=ln(xy)ln(uv)(lnx+lny)(lnu+lnv) lnxlnu+lnxlnv+lnylnu+lnylnv =F(x，u)+F(x，v)+F(y，u)+F(y，v) 10. 下列函数中( )的导数等于sin2x Acos2x： Bcos2x： C-cos2x； Dsin2x下列函数中()的导数等于sin2xAcos2x：Bcos2x：C-cos2x； Dsin2xD(cos2x)=-2sin2x，(cos2x)=-2cosxsinx=-si
7、n2x， (-cos2x)=2sin2x，(sin2x)=2sinxcosx=sin2x，故选D 11. 设1，2是独立同分布的N(0，1)随机变量，试求的概率密度函数设1，2是独立同分布的N(0，1)随机变量，试求的概率密度函数因为1，2是独立同分布N(0，1)随机变量，所以联合分布律 当z0时，FZ(z)=0 当z0时，有 所以 12. 唯一因式分解定理的唯一性是用什么方法证明的?A、数学归纳法B、因果关系法C、演绎法D、列项合并法唯一因式分解定理的唯一性是用什么方法证明的?A、数学归纳法B、因果关系法C、演绎法D、列项合并法正确答案： A13. 集合A可测等价于该集合的特征函数X_A可测
8、。( )A.正确B.错误参考答案：A14. 假设总体X的密度为 其中0，求来自X的样本X1，X2，Xn的密度函数p(x1，x2，xn)假设总体X的密度为其中0，求来自X的样本X1，X2，Xn的密度函数p(x1，x2，xn)15. 指出下列点集的内点、边界点、聚点，并说明是否是有界集、连通集、开区域、闭区域。指出下列点集的内点、边界点、聚点，并说明是否是有界集、连通集、开区域、闭区域。(1)E中的任一点都是点集E的边界点；点集E没有内点；x轴上的点，y轴上的点都是E的聚点；E是有界集；集合E不是区域、闭区域，也不是连通集。$(2)集合F中除点(1，0)外的任一点(x，y)都是F的内点；圆周x2+
9、y2=1与(x-2)2+y2=1上的点和点(1，0)都是F的边界点；F的每一个点都是F的聚点；F是有界集，连通集；但不是区域(1，0)不是F的内点)，也不是闭区域$(3)G中的任何一个点(x，y)都是G的内点；(0，0)点是G的边界点；全平面R2上任一点(x，y)都是G的聚点；G是无界集，连通集；G是区域，但不是闭区域。16. 若f(x)为Lebesgue可积函数，则( )A.f可测B.|f|可积C.f2可积D.|f|.a.e.参考答案：ABC17. 证明：若三角级数 中的系数an，bn满足关系 M为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导数。证明：若三角级数中的系数an，bn满足关系
10、M为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导数。由所给条件：可知 即 而，有 及级数收敛，可知三角级数 为绝对一致收敛 其中a0为某一实数 又设 则 由于 及收敛，所以级数一致收敛，由定理13.12可知此级数的和函数连续，由定理13.14可知 即级数的和函数具有连续的导函数 18. 设，2元实二次型XAX的一个特征值是i，证明：Rn中存在非零向量=(1,2n)，使得A=(12,22n设，2元实二次型XAX的一个特征值是i，证明：Rn中存在非零向量=(1,2n)，使得A=(12,22n2)正确答案：因为i是A的一个特征值设为对应于的特征向量且=(12n)则A=i从而f(12n)一TA=T
11、i=T=i(1222n2)因为i是A的一个特征值,设为对应于的特征向量,且=(1,2n),则A=i从而f(1,2n)一TA=Ti=T=i(12,22n2)19. 已知，证明级数收敛，并求级数的和已知，证明级数收敛，并求级数的和 即有 因此 则 所以，级数收敛，其和为 20. 某城市下雨的日子占全年的一半，而有雨时气象台预报有雨的概率为0.9。某人 每天上班很为下雨烦恼，凡是气象台某城市下雨的日子占全年的一半，而有雨时气象台预报有雨的概率为0.9。某人每天上班很为下雨烦恼，凡是气象台预报下雨他就带伞，即使预报无雨，他也有一半的时候带伞。求他没带伞而遇雨的概率21. 如果一条直线与它在仿射变换下的
12、像重合，则称这条直线为的不动直线，求仿射变换的不动直线。如果一条直线与它在仿射变换下的像重合，则称这条直线为的不动直线，求仿射变换的不动直线。设(l)=l：ax+by+c=0,其中l:ax+by+c=0，即+c=0，=(a，b)，所以 = 即 且 再由 (ax+by+c=0)=l:ax+by+c=0 得不动直线为20x-5y-8=0和2x-2y-5=0。 22. 试利用求正交投影的方法，求点M(4，-4，8)到平面2x-2y+z=0的距离.试利用求正交投影的方法，求点M(4，-4，8)到平面2x-2y+z=0的距离.令W=(x，y，z)TR3|2x-2y+z=0，可求出W的一个标准正交基为到W的正交投影为1=，e1e1+，e2e2=(-1，1，4)T.所求距离为d=-1=8.23. 证明可导的偶函数的导函数为奇函数证明可导的偶函数的导函数为奇函数法一f(x)为偶函数，故f(-x)=f(x)，且在点x可导。由导数定义： 所以偶函数的导函数为奇函数 法二利用复合函数求导法则，设f(x)为偶函数，即 f(-x)=f(x) 两边同时对x求导，得 -f(-x)=f(x)，即f(-x)=-f(x)， 所以f(x)是奇函数 类似可以证明可导的奇函数的导函数为偶函数 24. 已知曲面
