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1、第十九章 一 次 函 数1.确定函数自变量取值范围的方法 (1)若函数式是整式,则取全体实数. (2)若函数式有分母,则取值不能使分母为零. (3)若函数式中有二次根式,则取值使二次根式有意义. (4)若函数式有多种情况,则取它们的公共部分. (5)在实际问题中,取值要符合实际意义.【例1】函数y=中,自变量x的取值范围是.【标准解答】自变量需满足:解得x-2且x3.答案:x-2且x3【例2】下列函数中,自变量x的取值范围为x1的是()A.y=B.y=1- C.y=D.y=【标准解答】选D.A项x的取值范围为x1,B项x的取值范围为x0,C项x的取值范围为x1,D项x的取值范围为x0D.x0且
2、x-12.函数y=+的自变量x的取值范围是()A.-4x2C.x2D.x-4且x22.确定正比例函数解析式的方法确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数解析式中的常数k.其基本步骤是:(1)设出含有待定系数的函数解析式y=kx(k0).(2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式得到关于系数k的一元一次方程.(3)解方程,求出待定系数k.(4)将k的值代回解析式得到正比例函数解析式.【例1】 根据条件:y与x成正比,且当x=4时,y=16确定函数解析式.【标准解答】因为y与x成正比,所以设解析式为y=kx.把x=4,y=16代入y=kx中得:16=k4,解之得k=4,所以函数解析式为y=
3、4x.【例2】已知正比例函数y=kx的图象经过点(3,-6).(1)求这个函数的解析式.(2)在如图所示的直角坐标系中画出这个函数图象.(3)判断点A(4,-2),点B(-1.5,3)是否在这个函数的图象上.【标准解答】(1)把点(3,-6)代入正比例函数y=kx,得-6=3k,解得k=-2,则函数解析式为y=-2x.(2)经过点(0,0),(1,-2)画出图象如下:(3)正比例函数的解析式为y=-2x,当x=4时,y=-8,当x=-1.5时,y=3,点A(4,-2)不在这个函数的图象上,点B(-1.5,3)在这个函数的图象上.1.已知y与x成正比例,且x=-2时y=4.(1)求y与x之间的函
4、数解析式.(2)设点(a,-2)在这个函数的图象上,求a.2.已知y-2与x成正比例,且x=2时,y=-6.求:(1)y与x的函数解析式.(2)当y=14时,x的值.3.确定一次函数解析式的方法 确定一次函数,需要确定一次函数y=kx+b中的常数k和b. 具体步骤: (1)设出含有待定系数的解析式. (2)把已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式,得到关于待定系数的方程(组). (3)解方程(组)求出待定系数. (4)将求出的待定系数的值代入所设的解析式.【例】已知一次函数y=ax+b的图象经过点A(2,0)与B(0,4).(1)求一次函数的解析式,并在直角坐标系内画出这个函数的图象.(2
5、)当x0时,请直接写出y的取值范围.【标准解答】(1)根据题意得解得所以一次函数解析式为y=-2x+4,画出图象如图.(2)当x0时,y4.已知y-3与4x-2成正比例,且当x=1时,y=5.(1)求y与x的函数解析式.(2)求当x=-2时的函数值.4.一次函数的应用 (1)借助一次函数的图象,获取相关信息进行解题,分析图象时应着重把握以下几点: 弄清横、纵坐标所表示的实际意义. 明确自变量与函数值的取值范围. 了解图象上某些点(图象与坐标轴的交点、图象上已经表明的点等)的坐标的具体意义.【例1】水龙头关闭不严会造成滴水,容器内盛水量w(L)与滴水时间t(h)的关系用可以显示水量的容器做如图1
6、的试验,并根据试验数据绘制出如图2的函数图象,结合图象解答下列问题.(1)容器内原有水多少升?(2)求w与t之间的函数解析式,并计算在这种滴水状态下一天的滴水量是多少升?【标准解答】(1)根据图象可知,t=0时,w=0.3,即容器内原有水0.3升.(2)设w与t之间的函数解析式为w=kt+b,将(0,0.3),(1.5,0.9)代入,得解得故w与t之间的函数解析式为w=0.4t+0.3.由解析式可得,每小时滴水量为0.4 L,一天的滴水量为:0.424=9.6 L,即在这种滴水状态下一天的滴水量是9.6 L.(2)应用数学建模的思想解决实际问题根据实际情景构造一次函数模型,再借助一次函数图象或
7、性质解决简单的实际问题涉及最多的类型方案设计问题.【例2】随着信息技术的快速发展,“互联网+”渗透到我们日常生活的各个领域,网上在线学习交流已不再是梦,现有某教学网站策划了A,B两种上网学习的月收费方式:收费方式月使用费/元包时上网时间/h超时费/(元/min)A7250.01Bmn0.01设每月上网学习时间为x小时,方案A,B的收费金额分别为yA,yB.(1)如图是yB与x之间函数关系的图象,请根据图象填空:m=;n=(2)写出yA与x之间的函数关系式.(3)选择哪种方式上网学习合算,为什么?【标准解答】(1)由图象知:m=10,n=50.(2)yA与x之间的函数解析式为:当x25时,yA=
8、7,当x25时,yA=7+(x-25)0.6,yA=0.6x-8,yA=(3)yB与x之间函数关系为:当x50时,yB=10,当x50时,yB=10+(x-50)600.01=0.6x-20,当0x25时,yA=7,yB=10,yAyB,选择A方式上网学习合算,当25x50时.令yA=yB,即0.6x-8=10,解得:x=30,当25x30时,yAyB,选择A方式上网学习合算,当x=30时,yA=yB,选择哪种方式上网学习都行,当30yB,选择B方式上网学习合算,当x50时,yA=0.6x-8,yB=0.6x-20,yAyB,选择B方式上网学习合算.综上所述:当0x30时,yA30时,yAyB
9、,选择B方式上网学习合算.1.甲、乙两车从A地出发沿同一路线驶向B地,甲车先出发匀速驶向B地.40分钟后,乙车出发,匀速行驶一段时间后,在途中的货站装货耗时半小时,由于满载货物,为了行驶安全,速度减少了50千米/时,结果与甲车同时到达B地.甲乙两车距A地的路程y(千米)与乙车行驶时间x(小时)之间的函数图象如图所示.请结合图象信息解答下列问题:(1)直接写出a的值,并求甲车的速度.(2)求图中线段EF所表示的y与x的函数解析式,并直接写出自变量x的取值范围.(3)乙车出发多少小时与甲车相距15千米?写出答案.2.(2016深圳中考)荔枝是深圳特色水果,小明的妈妈先购买了2千克桂味和3千克糯米糍
10、,共花费90元;后又购买了1千克桂味和2千克糯米味,共花费55元.(每次两种荔枝的售价都不变)(1)求桂味和糯米味的售价分别是每千克多少元.(2)如果还需购买两种荔枝共12千克,要求糯米味的数量不少于桂味数量的两倍,请设计一种购买方案,使所需总费用最低.答案解析：1.确定函数自变量取值范围的方法【跟踪训练】1.【解析】选A.代数式有意义的条件:分子中被开方数是非负数,分母不等于零,当x0时,分母x+10,x的取值范围是x0.2.【解析】选D.根据题意,若分式有意义,可得x-20,解得x2;若二次根式有意义,则x+40,解得x-4.所以x-4且x2.2.确定正比例函数解析式的方法【跟踪训练】1.
11、【解析】(1)y与x成正比例,设y=kx,当x=-2时,y=4,4=-2k,k=-2,y与x的函数解析式为y=-2x.(2)点(a,-2)在这个函数的图象上,-2a=-2,a=1.2.【解析】(1)设y-2=kx(k0),则-6-2=2k,k=-4,y与x的函数解析式是y=-4x+2.(2)当y=14时,14=-4x+2,解得x=-3.3.确定一次函数解析式的方法【跟踪训练】【解析】设y-3=k(4x-2)(k0),把x=1,y=5代入,得5-3=k(41-2),解得k=1,则y与x之间的函数解析式是y=4x+1.(2)由(1)知,y=4x+1.当x=-2时,y=4(-2)+1=-7.即当x=
12、-2时的函数值是-7.4.一次函数的应用【跟踪训练】1.【解析】(1)a=4.5,甲车的速度=60(千米/时).(2)设乙车开始的速度为v千米/时,则4v+2.5(v-50)=460,解得v=90(千米/时),4v=360,则D(4,360),E(4.5,360),设直线EF的解析式为y=kx+b,把E(4.5,360),F(7,460)代入得解得所以线段EF所表示的y与x的函数解析式为y=40x+180(4.5x7);(3)60=40,则C(0,40)设直线CF的解析式为y=mx+n,把C(0,40),F(7,460)代入得解得所以直线CF的解析式为y=60x+40,易得直线OD的解析式为y=90x(0x4),当60x+40-90x=15时,解得x=;当90x-(60x+40)=15时,解得x=;当40x+180-(60x+40)=15时,解得 x=.所以乙车出发小时或小时或小时时,乙车与甲车相距15千米.2.【解析】(1)设桂味售价为每千克x元,糯米味售价为每千克y元,则解得答:桂味售价为每千克15元,糯米味售价为每千克20元.(2)设购买桂味t千克,总费用为W元,则购买糯米味(12-t)千克,12-t2t,t4,W=15t+20(12-t)=-5t+240.k=-50,W随t的增大而减小,当t=4时,Wmin=220.答:购买桂味4千克,糯米味8千克时,总费用最少.1
