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1、函数的单调性与最值漫谈海南华侨中学 黄玲玲 函数的单调性与最值是中学数学的核心内容从中学数学知识的网络来看，函数的单调性与最值在中学数学中起着“纽带”的作用,她承前于函数的值域、方程有解的条件、不等式证明，启后于数列的最值问题、导数的应用等知识.例如：求函数的值域，令，则，则函数即为，由于,则函数在区间内是增函数，而，因此函数的值域为；方程在内有解，求实数的取值范畴,由方程可变为，由于函数在区间内是减函数，在区间上是增函数,则，因此实数的取值范畴是，在高三数学复习中要把函数（,)作为基本函数来掌握,它的图像如右下图所示,它在区间内为减函数，在区间内是增函数；设正数,满足,求证：，设函数,则函数
2、在区间内是减函数,由基本不等式有，则有,也就是;设数列,，的前项和为的最大值，假设最大,则，,是递增的,，,是递减的,则有，即，解之或函数的单调性与最值在中学阶段分两个时期渗入,前期是函数的初等措施，即运用函数的单调性和最值的定义解决简朴的基本函数或简朴的基本函数的简朴复合形式的问题,后期是函数的后续性质,重要运用导数的性质来研究函数的单调性和最值,解决一元高次函数或简朴的超越函数问题下面分两个方面来漫谈：一、 前期的函数的单调性和最值问题1 运用函数的单调性或最值来求函数的值域例1 求函数的值域.分析:但凡分数的分子、分母都是整式,一般是把次数高的式子按次数低的式子进行配方,这样就能得到有关
3、某个式子的基本形式的函数，从而运用基本函数的特性解决问题解答：，令,则在区间上是单调减函数,则,则. 练习1 已知函数的图像与轴两个交点的横坐标分别为,(1）证明:;（2）证明：,； （3)若,满足不等式.求的取值范畴解:(1)依题意有:，,因此,，因此;(2）由于函数的图像与轴两个交点的横坐标分别为，则鉴别式，即，设不妨设,（),又,因此,；(3),，即,而,，,因此的取值范畴是.注意：令,则函数（)在区间上是减函数，在区间上是增函数,且或时取最大值；时取最小值例2 求函数的值域. 分析:从广义上看项是项的二次关系,令,那么函数就可以变为有关的二次函数，运用二次函数的最值就能求出函数的值域.
4、 解答：令（）,则,函数可变为 ，则,函数的值域为练习:求函数的值域解:函数的定义域为，将函数变形为 ,则函数在区间上为减函数,因此,因此函数值域为 2复合函数的单调性与最值问题例3求函数的单调递减区间分析:这个函数可以当作复合函数,其中(或)，两个函数复合的单调性,是“同增异减”.解答:函数的定义域为,令，由于,当时,，,因此函数的单调递减区间是,从图像上理解可以看下图： 练习3:求函数的单调递减的区间解:函数的定义域为，令,则(),当时，;或时，,因此函数的单调递减区间是和.例设,求函数的最大值和最小值.分析:要把所给的函数化归成有关的二次函数形式，用配措施求指定区间内的最值.解答:. ，
5、, 当,即时，;当,即时,练习4：若时,求函数的最大值和最小值解：由，得,函数可化为,即 ,当时,；当时，.具有参变量的函数的单调性与最值问题例 求函数（)在区间上的最小值分析：函数的最值点在区间的端点或处,由于点在变动，要分在区间内,或左侧，或右侧的情形进行讨论.解答：令，得，这是函数在区间内的图像的最低点的横坐标,即函数在上递减，在上递增因此有：（1） 当,即时，;（2） 当，即时，；（3） 当，即时, 练习:例6 求函数在区间上的最值分析:函数的对称轴是不变的,区间在变动,在区间中,与差的绝对值最小的自变量为最小值的取值点,与差的绝对值最大的自变量为最大值的取值点.因此，函数的最值点在区
6、间的端点或处.解答:由于抛物线的对称轴为，因此有：(1)当，即时，；(2)当,即时,；（3)当时,，;(）当时,二、 后期用导数研究函数的单调性和最值问题1一元高次多项式函数的单调性与最值问题例 设函数,其图像在点处的切线与直线垂直,导函数的最小值为.（1） 求,的值;（2） 求函数的单调递增区间,并求函数在上的最值.分析:依函数的导数的几何意义，函数表达的曲线在点的导数即为以点为切点的切线的斜率,再由二次函数的最小值就可求出,的值.解答:（1），直线的斜率为,因此切线的斜率为,则，即，,则,代入式得,; (2）由（1），则，令，解之,，因此，随的变化如下表:极大值极小值由于函数在上是持续不断
7、的曲线,因此的递增区间为和；，,因此当时,取最小值为；当时,取最大值为 2.超越函数的单调性与最值问题 例 已知函数，求函数在上的最大值.分析:运用导数的性质求出函数的单调区间，再根据函数的极值点在区间的左侧,在区间内和在区间的右侧的三种情形进行分类讨论.解答： ， 令 ,得或，由知，随的变化如下表:极小值极大值(1)当,即时,在区间上是减函数，;（2)当,即时,在上为增函数,在上为减函数，因此；（）当，即时，在区间上是增函数， 综上所述,当时,；当时,；当时，三.有关训练：1 求二次函f()x2-2ax+2在2,4上的最大值与最小值2 已知是f(x）= 奇函数，且f（) （1） 求实数m、n的值;（2） 求函数f(x)在, )上的最小值。3已知函数f(x)=2ax-, （1)若(x)在上是增函数，求a的取值范畴; (2）求f(x）在区间上的最大值.求（x)= 在 范畴内的最值。参照答案：1. 2. (1) m1, =0 ;() 3. (1) a ; （2 ) 本文档系网络所得,版权归原作者所有。如有侵权,本人定尽快解决！4.
