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1、2阶线性定常微分方程k2X第二章：控制系统的数学模型2.1 引言-系统数学模型一描述系统输入、输出及系统内部变量之间关系的数学表达式时域：微分方程 -本章所讲的模型形式复域：传递函数建模方法机理分析法实验法(辩识法)2.2 控制系统时域数学模型1、线性元部件、系统微分方程的建立(1) L-R-C 网络1 1比LC c LC rUU(2) 弹簧一阻尼器机械位移系统分析A、B点受力情况由 k1(XjXA)&XA解出Xa Xi/。k1代入 B 等式： f(Xikk2 Xo Xo)(3) 电枢控制式直流电动机电枢回路：ua R i Eb 克希霍夫 电枢及电势：Eb Ce m-楞次电磁力矩：MmC i
2、-m安培力矩方程：jmmf mmMm牛顿变量关系： iMm111aEbub010竝UD(4) X-Y记录仪(不加内电路)消去中间变量得:TT披大肾吒桥旺佛K輔純轮机构171X3消去中间变量有:Tml I k1k2k3k4kml k1k2k3kmua 二阶线性定常微分方程即： ITmkik2k3k4kTmk1k2k3k2、线性系统特性满足齐次性、可加性线性系统便于分析研究。在实际工程问题中，应尽量将问题化到线性系统范围内研究。非线性元部件微分方程的线性化例：某元件输入输出关系如下，导出在工作点0处的线性化增量方程解：在0处线性化展开，只取线性项:令y y -y。得y Eosin o3、用拉氏变换
3、解微分方程I 21 212ua初条件为 0)S2FZ021(2) 复数模、相角(3)复数的共轭复习拉普拉斯变换的有关内容1 复数有关概念(1) 复数、复函数复数sj复函数F sFxjFy例：Fss 22j(4)解析：若F(s)在s点的各阶导数都存在，称F(s)在s点解析。拉氏变换定义几种常见函数的拉氏变换1. 单位阶跃： 1t02指数函数：f(t)3 正弦函数：f。sin拉氏变换的几个重要定理(1)线性性质:Laft）bf2aFbF2（t）（s） （s）(2)微分定理:进一步:始条件下有：Lfni-snf-10sn-20 L sf 0n-20 零初s F例 2：求 L cost解:cos t
4、AL si nt（3）积分定理： L f t dt1Fs sf-10(证略)s零初始条件下有:1L f t dt - F ss进一步有:例 3:求 Lt=?解:t dt例 4 :求 L解:tdt(4) 位移定理实位移定理:t-例5：J解：f(t)1(t)1(t虚位移定理:L eatF s- a(证略)例 6 : 求 Leat例 7 : L e-3t cos5tsS252L e 2tcos(5t)L e 2tcos 5(t )(5) 终值定理(极限确实存在时)证明：由微分定理 f t e stdt sFs f 00取极限：lim f t e stdt lim sF s f 0s 0s 00二有:
5、flim sF 证毕ssin 11 -lim s2 01t 0 s2 2 2s例 10： f拉氏变换附加作业已知f(t),求F(s)=?二. 已知 F(s),求 f(t)=?5.拉氏反变换反变换公式：(1)石j尺( 留数法，待定系数法，试凑法(2)查表法分解部分分式微分方程般形式:F(s)的一般表达式为:来自：(n)aiC(n-1)an-iCC br(m)bfm-1)bm-汀S(I )其中分母多项式可以分解因式为：A(S) (S Pi)(S P2)(S Pn)(II)Pi为A(s)的根(特征根)，分两种情形讨论：I ： A(s) 0无重根时：(依代数定理可以把 F(S ) 表示为：)即:若G可
6、以定出来，则可得解：而。计算公式ci lim (s pJ.F(s)s PiCi B(s)A (isB()s) sPi(说明(川)的原理，推导例F(s)求 f(t) ?2：C解：F(s)(S i)(s 3)s 1 s 3C2例3：s2 5s 5 亠，求?F(s)snf(t)解：不是真分式，必须先分解： (可以用长除法)例 4 ： F(s)Cass22s 2 (s 1 - j)(s 1 j) s 1-j解法2?e (2 j)e (2 j)e -jte Jes；丄 e 曲cost)2j2j解法二：II : A(s) 0 有重根时：设Pi为m阶重根,Sm 1, Sn为单根则F(s)可表示为：其中单根
7、Cm 1, Cn 的计算仍由(1)中公式(川)()来计算.重根项系数的计算公式： (说明原理)s 2例 5F(s) s(s 1)2(s 3)求 f?解：F(s)亠飞旦虫旦(s 1) s 1 s s 3举例说明拉氏变换的用途之解线性常微分方程，引出传函概念。如右图RC电路：初条件:Uc(0)Uc0输入 U/t) E.1 t依克西霍夫定律:L变换:依(*)式可见，影响CR电路响应的因素有三个:1：输入 ur(t)2：初条件Uco分析系统时，为在统一条件下衡量其性能输入都用阶跃，初条件影响不考虑3：系统的结构参数一一只有此项决定系统性能右鴿零初条件下输入/出拉氏变换之比(不随输入形式而变) 2-3线
8、性定常系统的传递函数 一一上述 CR 电路的结论适用于一般情况般情况下：线性系统的微分方程:an-iC (t)anC(t)br(m) (t)br(m-1) (t)n-i n S-1 J 4)r(t)1C(n) (t) a1C(n-1) (t)简单讲一下：传递函数的标准形式：I： D(S)为首1多项式型：G(s)KS-K* ：根轨迹增益ll： D(s)为尾 i 多项式型：G(s) tsK厂K:开环增益开环增益的意义:般情况下:首 1 型:G(s)尾1 型:G(s)K*(s乙)(s Z )m7K ” s,b1 s*A m 11a sbStsP1)(s P)s sl n lan a* n l 1*
9、5n l心1)(s 1)mOsmb1s 11s (Tq 1)(T S 1)n Is1 as la ,s1(m(乙)乙为零点i 1 n-lbm由(1)式:比-1( PJPj为极点比较(1)(2):-蝕Kan-lb*mKan-l( Zi) iln-l(Pi)i 1首1型多用于根轨迹法中尾1型多用于时域法，频域法中一.传递函数定义：条件：(0)r(0) r(n1)(0)八C(O) C(0)C(m1)(0) 0定义：有关概念：特征式，特征方程，特征根零点乙 使G(s) 0的s值K c(叫 sG(s) a联系：决于系统本bm :传递函数，增益，放大倍数一G(s)分子分母与相应的微分方程之间的结构图-系统
10、的表示方法分母：(*)式c(s)前面的系数完全取身的结构参数注(1)为何要规定零初始条件？分子：(*)式R(s)前面的系数兀分析系统性能时，需要在统一条件下考查系统：输入：都用阶跃输入初条件：都规定为零一一为确定一个系统的起跑线而定则系统的性能只取决于系统本身的特性(结构参数)(2) 为何初条件可以为零？1) 我们研究系统的响应，都是从研究它的瞬时才把信号加上去的2) 绝大多数系统，当输入为0时，都处于相对静止状态.3) 零初始条件是相对的，常可以以平衡点为基点(如小扰动为线性化时)(3) 零初条件的规定，并不妨碍非零初条件时系统全响应的求解可以由G(s)回到系统微分方程，加上初条件求解.传递
11、函数的性质:1. G(s):复函数，是自变量为s的有理真分式(m n)?, bi均为实常数.mn 则:说明：2. G(s):只与系统本身的结构参数有关与输入的具体形式无关输入变时，C(s)=G(s)R(s)变，但G(s)本身并不变化但G(s)与输入、输出信号的选择有关r(t),c(t)选择不同，G(s)不同(见前CR电路)3. G(s)与系统的微分方程有直接联系4- G(s) L k(t) G(s)是系统单位脉冲响应的拉氏变换5- G(s)与系统相应的零极点分布图对应G(s)的零极点均是复数，可在复平面上表示：若不计传递函数，G(s)与其零极点分布图等价.:-3 -2 -1例：g(S)k(；2_(s 3)(s2 2s 2)稳刍八定片性；G(s) 系统零极点分布图 系统性能 :性； 动态特性.若当系统参数发生变化时，分析其特性：1) 用解微分方程法十分繁琐个元部件参数改变，影响込，2,得反复解2) 若掌握了零极点分布与系统性能之间的规律性，则当某个元部件的参数改变 时，即bj变 化，零极点位置变化，系统性能的变化规律就能掌握了，这样， 我们可以有目的地改变 某些参数，改善
