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1、接上四面第十讲:特殊四面体及其性质直角四面体的应用例1. 求证判定(3)中OABC是直角四面体。.63桶.证法一：设正四面体ABCD的棱长为a,则其高DH=a，而AH=a, DO=OH=二a,在Rt AAHOCAE336中 n OA2 = 1 a 2，同理OB=OC=OA二孕 a,由勾股定理易证/ AOB= / BOC= / COA= 90，故得证。证法二：如图三，将正四面体ABCD镶嵌在棱长为a的正方体中，则正四面体ABCD中O、H是正方体对角线DE的两个三等分点，由定比分点公式得:2a a 2a 2a 2a a -TTf，-) ,，-，二)3 3 33 3 3=0，即 OA 上 OB，a
2、a 2a2a 2a aO(t , =，k)、H(w d ) n AO - OB =(3 3 33 3 3同理 OB 1OC，OC1 OA，得证。例2.(2003年湖南省高中数学竞赛题)SABC是三条棱两两互相垂直的三棱锥，。为底面入8D. (1，2 技)C 内一点，若/OSA= a , /OSB= P ,/OSC= Y，则 tan眼 tan P - tan丫。(A. : 22, +3)B. (0， 2 2cos p - cos7，同理有 sin 2 pZ 2cosacos7， sin2 7 N2cosa cos p三式相乘有 tan 2 a tan 2 p tan 2 7 Z 8选(A)或以S
3、O为对角线补成长、宽、高分别设为c的长方体 ntana tan p tan7 =aV a 2 + b 2 J2bc 2ac 2ab _ ?龙 cabc例3.三棱锥的三条侧棱两两互相垂直， 面积为1，则三棱锥的侧面积为()三侧面与底面所成的二面角分别为30、45、60，底3 + 桓 +1(A).、& +1(B).v2 +1 (C).(D).2S 解：每一个侧面都是底面在这个侧面所在平面上的射影,由面积射影公式cose = n $侧=再 + 42 +1S (cos30 +cos45 +cos60)= 二选(A )底解后反思：由2. 2（i）m知 cos 2 30 +cos 2 45 +cos 2
4、60 = 3丰1,故此题是一道流行很广的错题!OOO例4.已知直线四面体OABC中，三直角面与斜面ABC所成的二面角分别为a、P、y，则（）A.C.1cos a cos P cos Y - 31sina sin p sinY = 3B. cos 2 a +cos 2 p +cos 2 Y =lD. sin2 a+sin2 P +sin2 Y =1解法一：由2. 2m 知 cos 2 a +cos 2 P +cos 2 Y =l Osin2 a +sin2 p +sin2 Y =2 . /.选(B)解法二：由2.4有，42 = S 2 + S 2 + S 2，两边同时除以S 21234.，S 由
5、 cos 0 =t 得:Scos 2 a +cos 2 P +cos 2 Y =l .解法三：补成长方体，则a、P、Y o长方体对角线OH与OA、OB、OC所成的角，特殊值法，令OA=OB=OC=1,则方向角a = P = Y，且方向余弦cosa =cos P =cosY =，检验四个选项知只有（B）对。例5.直角四面体0ABC中，若分别满足下列条件，试求其体积V5C的最大值。.若S泰S 4为定值；.若外接球半径为定值）；.若六条棱长和L为定值。分析：V o abc = 6。bcE气.由性质2. 3或2. 42 + b 2 c 2 + a 2 c 2214 危 n a bc 336 (+豆).
6、函” 2162.J2)V V哑寿G-l)=言心例6. ( 2 0 0 4年湖南省高中数学竞赛题)已知三棱锥OABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，兀3P是底面 ABC内的任一点，OP与三侧面所成的角分别为a、B、y .求证：5 cos(0+y)，所以 sin2a cos2(0 +y) = sin2；-(0 +y)2当 0 +y 2；时，a + 0 +y ；当0+yv；时，以；-(0+y)，同样有以+ 0+y； 故 以+ 0+y；3 . 伊 另一方面，不妨设 a 2 P 2 y，贝g sina 2,siny v - ；. v 3 .八3、令 sin a =, sin y = |1 一()2
7、一 sin 2 0，则 sin 2 a + sin 2 0 + sin 2 y = 1 sin2 0 = cos(a+y)cos(a-y) = cos(a +y )cos(a -y )因为 a 1 -y1 a -y，所以 cos-y 2 cos(a-y)；所以cos(a +y) 2 cos+y所以a+ya1 +y 1 ；如果运用调整法，只要a、B、y不全相等，总可通过调整，使气+ 01 +匕增33 ,、，一，大.所以，当江=6= y =arcsin-时，a+B+y取最大值3arcsin-.综上可知:兀3a + 0+ y 33abc +、：2ab + 寸2bc + 3萼abc + 33，2j2a
8、bc 36 ( + CD，由 SABC = SDC，可得 AE=DF，因此 BECFn BF CE n BD CA。再由 S = S ，得CM=BN，由 BDCA n DNAM n DMAN n CDAB，这与假设矛盾，因此AB CD。但若ABCD也同样可推出矛盾结论，所以AB=CD，同理AD=BC，AC=BD，闻3 2由定理1，充分性得证。例1求证：等腰四面体以对棱为棱的两个二面角相等。分析 由于等面四面体ABCD的各面面积相等(如图32)，因此各顶点到 对面的距离均相等，即AN=DM。又由等面四面体的对棱相等，即AB=CD，及 SABD = Sacd，得高DE=AF。于是易证ZDEM=ZA
9、FN，这两个角就是一组对 棱为棱的二面角的平面角。等腰四面体的外接平行六面体及内接八面体先研究一般四面体的外接平行六面体。过四面体的每一条棱作其对 棱的平行平面，得三对平行平面。这三对平行平面围成的几何体是四面 体的外接平行六面体，显然，四面体的外接平行六面体是唯一的。反之， 一个平行六面体的内接四面体有两个。如图33，平行六面体ABCD- A1B1C1D1有两个内接四面体ACB1D1及BDA1C1，这两个四面体是全等的（镜 象全等）。四面体的棱是其外接平行六面体的面对角线，四面体的体积是该平行六面体体积的1/3 （如图33,匕A B D 匕-B DC匕-ABC 匕-ADC 6 ABCD - A BCD 图33图341 1 11 1 1 iiu1111引理四面体对棱中点连线交于一点且相互平分。证明此引理，只需考虑四面体的外接平行六面体，四面体的对棱中点连一即此平行六面体对面中心连线，它们都过平行六面体的中心（对角线
