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1、康托尔三分集的性质及应用摘要：本文通过对康托尔三分集的定义的描述，这里将康托尔三分集记为P,经 过分析康托尔三分集的定义方法可以得出P为闭集，以及对其性质的讨论，得到（其四个重要的性质，分别为：（1）P是完备集；（2）P没有内点；（3）0，1P 是可数个互不相交的开区间，其长度之和为1；（4）P的基数为c。并由此通过 测度的定义及性质进一步对其测度的大小进行确定，得出其测度为零。有了性质， 我们进一步讨论康托尔三分集的应用，研究康托尔三分集对我们的数学理论和应 用等方面的意义。在此基础上有进一步分析它的不足之处。关键词：康托尔三分集 测度 闭集 疏朗集合内容：一、康托尔三分集的定义康托尔三分集
2、是由德国数学家康托尔构造的，它是人类理性思维的产物，并 非某个现实原型的摹写，用传统的几何术语很难对它进行描述，它既不是满足某 些简单条件的轨迹，也不是一个简单方程的解集，它是一种新的几何对象。下面 我们一起来看看它的具体定义方法。我们先将闭区间0,1三等分，去掉中间的开区间（13,23），剩下两个闭区间 0,13，23,1。又把这两个闭区间个三等分，去掉中间的两个开区间，即（19,29），（79,89）。一般地，当进行到第n次时，共去掉2-1个开区间，还剩下2 n个长度是3 n的互相隔离的闭区间，而在第n+1次时，再将这2 n个闭区间各 三等分，并去掉中间的一个开区间，如此进行下去，就从0,
3、1去掉了可数个互不 相交且没有公共端点的开区间，如下图所示：又因为直线上的闭集F或者是全直线，或者是从直线上挖掉有限个或可数个互不 相交的开区间（即F的余集）所得到的集，所以康托尔三分集为闭集。并且我们 把康托尔三分集记为P。二、康托尔三分集的性质1、P为完备集由于P的临界区间的作法，它们的任何两个之间根本不存在公共端点，故P 没有孤立点，因而P自密，又因为P为闭集，因此P为完备集。2、P没有内点我们观察P的做法，不难看出，去掉过程进行到第n次为止时，剩下2 n个长 度是3-n的互相间隔离的闭区间，因此任何一点七e P必含在这2n个闭区间的某 一个里面，从而在七的任意邻域U(%,3-n)内至少
4、有一点不属于P，但3-n 一0 (n 一 8 )，故七不可能是P的内点。P既然是没有内点的闭集，那么在任一开区间I内必至少含有开集Pc的一 点，从而I内比至少有一子开区间，其中不含P的点。在这里我定义凡是一个点 集E (不限于R中)，如果其具有性质：空间任意邻域内至少包含某点的一个邻 域，其中不含E的点，则称E为疏朗集合。因此P为一个疏朗集合。3、0，1P是可数个互不相交的开区间，其长度之和为1。第n次去掉的2n-i个长度为3-区间，因此0，1P中互不相交的开区间的长 度之和为芝2巳=1，若P有长度，其长度只能为零，即P的测度为0.3 nn =14、P的基数为c。1 2若0,1中的数用三进制小
5、数表示，第一次去掉的区间(土,2)中每个数的第3 3一小数都是1，以此类推，第二次去掉的两个区间中的每个数的第二位小数都是 一。以此类推，第n次去掉的2n-1个长度为:区间的每个数的第n位小数都是1， 因此所有每位小数可以仅用0或2表示的数是永远不会去掉的。我们又定义映射如下：们0,1 P对x e 0,1，若x =芝，则2 nn=1中(x) =工匕，其中b =!0,an =0,由以上分析中(X) e P，且易知中是单射，因1 3 nn 2, a = 1,此P p (0,1)=两=c。又 P u 0,1，又有 P 前=c，因此 P = c。三、康托尔三分集的测度虽然上面我们讨论康托尔的性质时说到
6、了康托尔三分集的长度，并且说明它 的测度为零，但那只是粗略的提了下，下面我们对它的测度为零进一步给出证明。在这里我们记P的余集为G，即G=0,1-P是开集，由直线上开集的构造， 可记 G= 8气 其中气为第n次去掉的所有开区间的并集。n=1由康托尔三分集的作法知，G.为2n-1个互不相交的长度为-的开区间的并， 并且 G G = (m。n)。由G可测知P=0, 1-G可测，而P+G=0, 1,所以 mP + mG = m0,1 = 1，故：mP = 1 - mG = 1 - m（工 G ） = 1 一 mGn=1n=1即康托尔三分集的测度为0.由于康托尔三分集的测度为0，由勒贝格积分的定义我们
7、可以推出若f为定义在康托尔三分集(P)上的函数，则有(L) j f (x)dx =0P四、康托尔三分集的应用对一门学科，研究其性质并不是我们的最终目的，而对它的应用才是最终 目的，前面我们已经对康托尔三分集的性质进行了分析研究，下面我们来进一步 看它在数学、经济等方面的应用。康托尔三分集在数学方面的应用：由于康托尔三分集的许多奇特性质，使得其在构造反例中被广泛应用，它的 研究在整个数学研究中起了十分重要的作用，使许多问题迎刃而解。下面我们举 例说明它的具体用处。命题1可列集的测度为零，但测度为零的集合不一定为可列集。例如康托尔三分集的测度为零，但它为不可列集。命题2如果A、B为R1上的正测集，
8、则A+B包含一个区间。反之不成立， 即A+B包含一个区间，但可能m(A)=m(B)=0。例如A、B均为康托尔三分集时就是其中的反例康托尔三分集在数学中还有其它的应用在这里不一一举例，我们来看下它在 经济方面的应用，由于康托尔三分集是将一条直线分割成三份，去掉一份，留下 两个线段，把剩下的两份线段各自再分割成为两份，连续重复删去三分之一线段， 保留两个线段，而这两个线段将形成四个相同的线段，这个过程循环往复，被切 割为无限多个线段其长度是一样的，这是转变中的自相似性和对称性，可以应用 于股价的量度上在新股群体中寻找目标，我们发现，上市后即暴跌的新股，在经过 暴跌后一定会产生对称性反弹。我们可以选
9、择新股上市后创出的最高价，将之视 为一条直线，将其连续切割两次，每一次都分割成三份，最终把分割结果累加为 四份，而这将会是新股从最高价下跌的终点站，并且会由此价位开始反弹。应用 这个原理我们可以进一步分析股票的涨跌情况。五、康托尔三分集的不足康托尔三分集是最早出现的分形。首先，它具有自相似性，即其局部与整体 彼此相似，这是分形的一个重要特征。其次，它是无穷操作或迭代的结果，呈现 出一种特别精细的结构这种奇异的几何图形，但即便如此康托尔三分集还是有明 显的不足，那就是没有将极限引入定理之中，对于很多问题都无法用极限来解决。 另外康托尔三分集的构造是基于集合论的一种集合的划分方法，在集合论上还能 进一步推广。这两个问题都有待我们去进一步解决。
