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1、（新教材）北师大版精品数学资料1.3 全称量词与全称命题 一、创设情境在前面的学习过程中，我们曾经遇到过一类重要的问题：给含有“至多、至少、有一个”等量词的命题进行否定，确定它们的非命题。大家都曾感到困惑和无助，今天我们将专门学习和讨论这类问题，以解心中的郁结。问题1：请你给下列划横线的地方填上适当的词一 纸；一 牛；一 狗；一 马；一 人家；一 小船分析:张头条匹户叶什么是量词？这些表示人、事物或动作的单位的词称为量词。汉语的物量词纷繁复杂，又有兼表形象特征的作用，选用时主要应该讲求形象性，同时要遵从习惯性，并注意灵活性。不遵守量词使用的这些原则，就会闹出“一匹牛”“一头狗”“一只鱼”的笑话
2、来。二、活动尝试所有已知人类语言都使用量化，即使是那些没有完整的数字系统的语言，量词是人们相互交往的重要词语。我们今天研究的量词不是究其语境和使用习惯问题，而是更多的给予它数学的意境。问题2：下列命题中含有哪些量词？（1）对所有的实数x，都有x20；（2）存在实数x，满足x20；（3）至少有一个实数x，使得x220成立；（4）存在有理数x，使得x220成立；（5）对于任何自然数n，有一个自然数s使得s=nn；（6）有一个自然数s使得对于所有自然数n，有s=nn；分析:上述命题中含有：“所有的”、“存在”、“至少”、“任何”等表示全体和部分的量词。三、师生探究命题中除了主词、谓词、联词以外，还有
3、量词。命题的量词，表示的是主词数量的概念。在谓词逻辑中，量词被分为两类：一类是全称量词，另一类是存在量词。全称量词：如“所有”、“任何”、“一切”等。其表达的逻辑为：“对宇宙间的所有事物x来说，x都是F。”例句：“所有的鱼都会游泳。”存在量词：如“有”、“有的”、“有些”等。其表达的逻辑为：“宇宙间至少有一个事物x，x是F。”例句：“有的工程师是工人出身。”含有量词的命题通常包括单称命题、特称命题和全称命题三种。单称命题：其公式为“（这个）S是P”。例句：“这件事是我经办的。”单称命题表示个体，一般不需要量词标志，有时会用“这个”“某个”等。在三段论中是作为全称命题来处理的。全称命题：其公式为
4、“所有S是P”。例句：“所有产品都是一等品”。全称命题，可以用全称量词，也可以用“都”等副词、“人人”等主语重复的形式来表达，甚至有时可以没有任何的量词标志，如“人类是有智慧的。”特称命题：其公式为“有的S是P”。例句：“大多数学生星期天休息”。特称命题使用存在量词，如“有些”、“很少”等，也可以用“基本上”、“一般”、“只是有些”等。含有存在性量词的命题也称存在性命题。问题3：判断下列命题是全称命题，还是存在性命题？（1）方程2x=5只有一解；（2）凡是质数都是奇数；（3）方程2x21=0有实数根；（4）没有一个无理数不是实数；（5）如果两直线不相交，则这两条直线平行；（6）集合AB是集合A
5、的子集；分析：（1）存在性命题；（2）全称命题；（3）存在性命题；（4）全称命题；（5）全称命题；（6）全称命题；四、数学理论1开语句：语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的这种含有变量的语句叫做开语句。如，x2，x-5=3，(x+y)(x-y)=0.2表示个体常项或变项之间数量关系的词为量词。量词可分两种：(1)全称量词日常生活和数学中所用的“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词可统称为全称量词，记作、等，表示个体域里的所有个体。(2)存在量词日常生活和数学中所用的“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词统称为存在量词，记
6、作，等，表示个体域里有的个体。3含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性命题。全称命题的格式：“对M中的所有x，p(x)”的命题，记为:存在性命题的格式：“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，记为:注：全称量词就是“任意”，写成上下颠倒过来的大写字母A，实际上就是英语any中的首字母。存在量词就是“存在”、“有”，写成左右反过来的大写字母E，实际上就是英语exist中的首字母。存在量词的“否”就是全称量词。五、巩固运用例1判断以下命题的真假：（1） （2） （3） （4）分析：（1）真；（2）假；（3）假；（4）真；例2指出下述推理过程的逻辑上的错误：第一步：设a=b，
7、则有a2=ab第二步：等式两边都减去b2，得a2-b2=ab-b2第三步：因式分解得(a+b)(a-b)=b(a-b)第四步：等式两边都除以a-b得，a+b=b第五步：由a=b代人得，2b=b第六步：两边都除以b得，2=1分析：第四步错：因a-b0，等式两边不能除以a-b 第六步错：因b可能为0，两边不能立即除以b，需讨论。心得：(a+b)(a-b)=b(a-b)a+b=b是存在性命题，不是全称命题，由此得到的结论不可靠。同理，由2b=b2=1是存在性命题，不是全称命题。例3判断下列语句是不是全称命题或者存在性命题，如果是，用量词符号表达出来。（1）中国的所有江河都注入太平洋；（2）0不能作除
8、数；（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数；（4）每一个向量都有方向；分析：（1）全称命题，河流x中国的河流，河流x注入太平洋；（2）存在性命题，0R，0不能作除数；（3）全称命题，xR，；（4）全称命题，有方向；六、回顾反思要判断一个存在性命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在性命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为假。要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判断一个全称命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假。即全称命题与存在性命题之间有可能转化，它们之间并不是对立的关系。
