《导数极限知识总结》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数极限知识总结（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、导数极限知识总结一一仅作了解切忌深究一.洛必达法则是什么(鄙人觉得高中数学神器)洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。在导数问题的3)问中通常会出现形彳的式子，而一般会出现求其导数，极值，甚至是某一点极限的问题，洛必达法则就是解决这一类而且不能用普通导数解决的问题。引入：试求% - sin x试求lim；% T8 % + sin x显而易见，这两个极限在以往的算法中一个是式，一个则是匹8无法求导，这时就需要用到高端大气上档次的洛必达法则了。1.使用条件定理1若函数f (%)与函数g(%)满足下列条件:(1)在的某去心邻域v(%)内可导，且g(%) 0(2)l
2、im f ( %) = 0%Ta+0lim g (%) = 0%a+0(3)lim 华=A%Ta+0 g (%),.f (%).f(%).则 lim = lim = A%a+0 g (%)%a+0 g ( % )(包括A为无穷大的情形)定理2若函数f (%)和g(%)满足下列条件(1)(2)lim f (%) = 3%a+0lim g (%) = 3%a+0(3)lim 竺=A%Ta+0 g (%),.f (%).f(%).贝 g lim = lim ;= A%a+0 g (%)%a+0 g ( % )(包括A为无穷大的情形)在a的某去心邻域v(%)内可导，且g(%) 0此外法则所述极限过程对
3、下述六类极限过程均适用:% % , % % + , % % - , % T3 , % +3 , % 一3。简而言之，当满足-或8的不定式时，lim f(%) = lim ;% = A8%a + 0 g (%) %a+0 g (% 0)PS： 一次求导不行仍未不定式，则多次求导 于是上面的两个式子可以这样解此时就不再是不定式，不满足洛必达法则应用条件。例一.% - sin %1 - cos % sin %、例二.lim= lim= lim(-) =-1 (此为错解)%3 % + sin %31 + cos %3 sin %;此时就不再是不定 式不满足洛必达法则应用条件。事实上，X 一 sin x
4、 lim；=limXT8 X + sin xsin x1 (正解)，这里为了说明问题，才使用上面的解法，这里也可以看出，寻找最为简便的解题方法才是正确解题的关键。2.未定式的其它类型：03、8-8、00、30、18型极限的求解此外，除了 0型或-型这两种待定型外，还可以通过转化，来解其他待定型。譬如080 g 8-8，00，18，80.等待定型，由于他们都可以转化为0型或8型，因此，也可以用洛必达法则08来求出他们的值。关于如何转换，例如lim f ( x ) = 0,lim g ( x) = 8,则limf ( x) g ( x)是08形式，这时，可以写为f (X) g (X)=年)或半)，
5、这就转化为0型或8型了。此外对于18，00，8 0等不定式，可以取对数化1108g ( X) f ( X)为08的形式，再运用如上方法便可转化为0型或8型了，下面对这些待定型一举例解答以作说明及1). 08形式limf(x) = 0,limg(x) = 8,可以写为f(x)g(x) = f(x)或 g(x)这就转化为了 0型或8型1108g ( X)f ( X)2)8 8形式(同理就简写了 ！以下写法仅为记号)1 10 008 8n n=.0 00 - 003)00、00、18 80、18形式0 - ln0取对数8.ln1n 0 8.(对于此类内容切记它使用的条件，不要一味去滥用，毕竟取巧 不
6、如实干，建议过一遍手，自己推倒一遍)最后一个小括号：里的是答案, 80练手时间：1 cos X 求lim. (1/2)X T0X 2ln x ,求 lim(a0). (0)XT+8 XIn x求 lim (n 0) (0)XT+8 Xn求lim（n为正整数，人0）XT+8 e 为解析相继应用洛必达法则n次，得求 lim x-2ex. （ 0 oo ） （+8）XT+8xnnxn-1n!x0lim =lim= lim 0xr+8 eXx xT+oX eXxxT+8* ne为求 lim(- 一 Oo). ( o 8 ) (0) xT0 sin x x求 lim xx . ( 00 ) (e)xT0
7、+求 lim xi-x. ( 18 )() x t1极限振荡不存在PS.x + cos x .求lim.时xT8原式=limxT81 一 sin x1=lim(1 sin x).xT8故正解为 原式=lim（1 +cosx） = 1.xT8x从上面的例子可知洛必达法则的使用条件：充分不必要，下面将详细讲解洛必达失效问题3.洛必达法则对于实值函数的失效问题1）使用洛必达法则后,极限不存在（非o ），也就是不符合以上定理1、2的条件 即引入问题中的x 一 sin x 计算lim一xT8 x + sin x2）使用洛必达法则后, 件sin x1 解：原式=limL = 1xT8 M 四x函数出现循环
8、，而无法求出极限，也就是不符合定理1、定理2的条ex + e-x ,8计算lim（一型）多次求导后出现循环xT8 ex e-x 8，得到知洛必达法则哭效，处理的方法是分子分母同乘。1_ e X计算limx 0 + X1正解：令t = 一 X三）使用洛必达法则后，函数越来越复杂，无法简单判断出函数是否存在极限，也就是不符 合定理1、定理2的条件ett则原式=lim 丁 = lim =1x 0 + _x 0 + et二.无穷小代替法应用等价无穷小量代替法化简，牢记下列等价无穷小量：当X T 0时，sin x x，tan x x, arcsin x xex 一 1 x, ln（1 + x）x,x21
9、 - cos x 2，1 + x - .+ 3?/) = -y重要极限设正整数由夹挤足理得:当NTs时， 设 x = -(7+0,则2 - 3/ =PS.1、通常的隐函数，都是一个既含有x又含有y的方程，将整个方程对x求导；2、求导时，要将y当成函数看待，也就是凡遇到含有y的项时，要先对y求导，然后乘以y 对x的导数，也就是说，一定是链式求导；3、凡有既含有x又含有y的项时，视函数形式，用积的的求导法、商的求导法、链式求导法，这三个法则可解决所有的求导；4、然后解出dy/dx；5、如果需要求出高次导数，方法类似，将低次导数结果代入高次的表达式中.再给几个例子应该就懂了：例一：求导(X2)+ (
10、y2)-(r2)=0并将y2看作x的复合函数则有即2x+2yy=0，于是得v二一从上例可以看到，在等式两边逐项对自变量求导数，即可得到一个包含y的一次方程，解出y即为隐 函数的导数.例二：求由方程y2=2px所确定的隐函数y=f(x)的导数.解：将方程两边同时对x求导，得2yy=2p,解出y即得y=p/y例三：求由方程y=x In y所确定的隐函数y=f(x)的导数.解：将方程两边同时对x求导，得y=ln y+xy解出y即得.例四由方程x2+xy+y2=4确定y是x的函数，求其曲线上点(2,-2)处的切线方程.解：将方程两边同时对x求导，得2x+y+xy+2yy=0,解出y即得.y=-(2x+
11、y)/(x+2y)(把y看作关于x的复合函数进行求导)五.拉格朗日中值定理一一微分学应用的桥梁1罗尔(Rolle)中值定理如果函数f G)满足条件：G)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3) f (a )= f (b ),则在(a, b)内至少存在一点匚，使得f G)= 0罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线y = f G)在点A,B处的纵坐标相等，那么，在弧aAb 上至少有一点C(匚,f (匚)，曲线在C点的切线平行于x轴，如图1,注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不能认为定理条件不全具备， 就一定不存在属于(a,b)的匚，使得fG)= 0.这就是说定理的条件是充分的，但非必要的.2拉格朗日(lagrange)中值定理(图二)若函数f G)满足如下条件：G)在闭区间a,。上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；则在(a,b)内至少 存在-点V，使f()=理竺拉格朗日中值定理的几何意义：函数y = f G)在区间a,b上的图形是连续光滑曲线弧 而 上至少有 一点。，曲线在C点的切线平行于弦AB .如图2，从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若fG)在闭区间a,b两端点的函数值相等，即 f (a)= f G)，则拉格朗日
