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1、第三章 导数及其应用章末达标测试（三）(时间：150分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列求导运算正确的是A.1B(xcos xsin x)xsin xC(5x)5xlog5eD(x2cos x)2xsin x解析A错，1；B正确，(xcos xsin x)(xcos x)(sin x)xcos xx(cos x)cos xcos xxsin xcos xxsin x；C错，(5x)5xln 5；D错，(x2cos x)2xcos xx2(sin x)答案B2设曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线2
2、xy60平行，则a等于A1B. C D1解析y2ax，于是切线的斜率ky)2a，所以2a2a1.答案A3函数yxln x的单调减区间是A(，1) B(0，1) C(1，) D(0，2)解析yxln x，y1.令y0，得0x1，又x0，故0x1.即单调减区间是(0，1)故选B.答案B4已知f(x)x33x2m(m为常数)在2，2上有最大值3，那么此函数在2，2上的最小值为A17 B29 C5 D11解析由f(x)3x26x3x(x2)0，解得x0或x2，又f(0)m，f(2)m4，f(2)m20，所以f(x)maxm3，f(x)minf(2)m2032017.答案A5若关于x的不等式x33x29
3、x2m对任意x2，2恒成立，则m的取值范围是A(，7 B(，20C(，0 D12，7解析令f(x)x33x29x2，则f(x)3x26x9，令f(x)0得x1或x3(舍去)f(1)7，f(2)0，f(2)20.f(x)的最小值为f(2)20，故m20，综上可知应选B.答案B6f(x)是f(x)的导函数，f(x)的图像如右图所示，则f(x)的图像可能是下图中的解析根据导函数的值(为正数)越小，原函数的图像上的点的切线越平缓(倾斜角越小)；越大，切线越陡峭(倾斜角越大)答案D7若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为A2r2 Br2 C4r D.r2解析设内接圆柱的高为h，底面半径为x
4、，则h2(2x)2(2r)2，又圆柱的侧面积S2xh，S2162(r2x2x4)，(S2)162(2r2x4x3)令(S2)0，得xr(x0舍去)，Smax2r2，故选A.答案A8若定义在R上的函数f(x)满足f(0)1，其导函数f(x)满足f(x)k1，则下列结论中一定错误的是AfCf解析令g(x)f(x)kx1，则g(0)f(0)10，gfk1f.g(x)f(x)k0，g(x)在0，)上为增函数又k1，0，gg(0)0，f0，即f.答案C9若曲线yx21与y1x3在xx0处的切线互相垂直，则x0等于A. BC. D.或0解析yx21，y2x，y1x3，y3x2，2x0(3x)1，x，x0.
5、答案A10若f(x)x2bln(x2)在(1，)上是减函数，则b的取值范围是A1，) B(1，)C(，1 D(，1)解析由题意知f(x)x0，x(1，)，即f(x)0，所以x22xb(x1)21b0，所以1b0，b1.答案C11设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时f(x)g(x)f(x)g(x)0，且g(3)0，则不等式f(x)g(x)0的解集是A(3，0)(3，) B(3，0)(0，3)C(，3)(3，) D(，3)(0，3)解析令F(x)f(x)g(x)，则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)，F(x)为奇函数当x0时，F(x)f(x)g(x)f(x)
6、g(x)0，F(x)在(，0)上单调递增，且F(3)0.又F(x)是奇函数，F(x)在(0，)上单调递增，且F(3)0.综上，F(x)0的解集是(，3)(0，3)，选D.答案D12若函数f(x)2x2ln x在其定义域内的一个子区间(k1，k1)内存在最小值，则实数k的取值范围是A1，) B.C1，2) D.解析因为f(x)定义域为(0，)，又f(x)4x，由f(x)0，得x，据题意，解得1k.答案B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13已知函数yf(x)的图像在点M(1，f(1)处的切线方程是yx2，则f(1)f(1)_解析点M(1，f(1)在切线yx2
7、上，f(1)，又f(1)，f(1)f(1)3.答案314(2018全国卷)曲线y2ln x在点(1，0)处的切线方程为_解析由题意知，y，所以曲线在点(1，0)处的切线斜率ky|x12，故所求切线方程为y02(x1)，即y2x2.答案y2x215若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于_解析f(x)12x22ax2b.f(x)在x1处有极值，f(1)122a2b0，ab6.又a0，b0，ab2，3，ab9，当且仅当ab3时取“”，ab的最大值为9.答案916若函数f(x)x3ax2x6在(0，1)内单调递减，则实数a的取值范围是_解析f(x)3x22a
8、x1.又f(x)在(0，1)内单调递减，不等式3x22ax10在(0，1)内恒成立，f(0)0且f(1)0，a1.答案1，)三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知函数f(x)x33x29x11.(1)写出函数的递减区间；(2)讨论函数的极大值或极小值，如有，试写出极值；(3)画出它的大致图像解析f(x)3x26x93(x1)(x3)，令f(x)0，得x11，x23.x变化时，f(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：x(，1)1(1，3)3(3，)f(x)00f(x)极大值f(1)极小值f(3)(1)由表可得函数的递减区
9、间为(1，3)(2)由表可得，当x1时，函数有极大值为f(1)16；当x3时，函数有极小值为f(3)16.(3)当x0时，f(x)11，令f(x)x33x29x11(x1)(x12)(x12)0，得x1或x12，故函数图像与坐标轴的交点为(0，11)，(1，0)，(12，0)结合函数的单调区间及极值的情况可画出f(x)的大致图像如图18(12分)已知函数f(x)x3ax2bx(a，bR)，若yf(x)图像上的点处的切线斜率为4，求yf(x)在区间3，6上的最值解析f(x)x22axb，f(1)4，12ab4.又在f(x)图像上，ab，即ab40.由解得，f(x)x3x23x，f(x)x22x3
10、(x3)(x1)令f(x)0，解得x1或3.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，3)3(3，)f(x)00f(x)极大值极小值由表知f(x)极大f(1)，f(x)极小f(3)9.又f(3)f(3)9，f(6)18.f(x)最大f(6)18，f(x)最小f(3)f(3)9.19(12分)已知函数f(x)x2ln x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：x1时，x2ln xx3.解析(1)依题意知函数的定义域为x0，f(x)x，故f(x)0，f(x)的单调增区间为(0，)(2)证明设g(x)x3x2ln x，g(x)2x2x.当x1时，g(x)0，g(x)在(
11、1，)上为增函数，g(x)g(1)0，当x1时，x2ln xx3.20(12分)(2018全国卷)已知函数f(x).(1)求曲线yf(x)在点(0，1)处的切线方程；(2)证明：当a1时，f(x)e0.解析(1)f(x)，f(0)2.因此曲线yf(x)在(0，1)处的切线方程是2xy10.(2)当a1时，f(x)e(x2x1ex1)ex.令g(x)x2x1ex1，则g(x)2x1ex1.当x1时，g(x)1时，g(x)0，g(x)单调递增；所以g(x)g(1)0.因此f(x)e0.21(12分)已知某工厂生产x件产品的成本为C25 000200xx2(元)，问：(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？解析(1)设平均成本为y元，则y200，y，令y0得x1 000.当在x1 000附近左侧时，y0；在x1 000附近右侧时，y0，故当x1 000时，y取极小值，而函数只有一个点使y0，故函数在该点处取得最小值，因此，要使平均成本最低，应生产1 000件产品(2)设利润为S，则利润函数为S500x300x25 000，S300，令S0，得x6 000，当在x6 000附近左侧时，S0；
