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1、习 题 五1.在总体中随机抽取一长度为36的样本，求样本均值落50.8到53.8之间的概率。解：由于，所以 =0.9564+0.8729-1=0.82932.在总体中随机抽取一长度为100的样本，问样本均值与总体均值的差的绝对值大3的概率是多少？解：由于，所以 3设为来自总体的一个样本，、分别为样本均值和样本方差。求及。分析：此题旨在考察样本均值的期望、方差以及样本方差的期望与总体期望、总体方差的关系，显然应由定理5-1来解决这一问题。解：由题设为来自总体的一个样本知 且 而、分别为样本均值和样本方差，则由定理5-1得 4设是来自正态总体的随机样本，。试确定、使统计量服从分布，并指出其自由度。
2、分析：依题意，要使统计量服从分布，则必需使及服从标准正态分布。由相互独立的正态随机变量的性质知，从而解得1/45。同理得1/117。5设和独立同分布，和分别是来自和的简单抽样，试确定统计量所服从的分布。 解：6设随机变量，试确定统计量所服从的分布。分析：先由分布的定义知，其中，再将其代入，然后利用F分布的定义即可。解： 由题设知，其中，于是=，这里，根据F分布的定义知。7.设总体服从正态分布，而是来自总体的简单随机样本，试确定随机变量所服从的分布。解：由于，故8设为来自正态总体的一个样本，已知，求的极大似然估计。 解：设为样本的一组观察值。则似然函数为 ，两边取对数，得 ，两边对参数求偏导数，
3、并令 解方程组得，故的极大似然估计为。9设，为来自正态总体的一个样本，试求的极大似然估计及矩估计。分析：矩估计法和极大似然估计法是点估计的两种常用方法，所谓矩估计法就是用样本的某种矩作为总体的相应矩的估计，因此需要首先计算（或已知）总体的某（几）种矩，由于本题只涉及一个未知参数，故只要知道总体的某一种矩即可。极大似然估计可依据四个步骤来完成，其关键是正确构造似然函数。解：（1）设为样本的一组观察值，则有，从而其似然函数为。两边取对数，得,两边对参数求导，并令，有，从而，得 ，因此的极大似然估计为 。（2）由于总体，从而有，令，可解得的矩估计为。10设为来自正态总体的一个样本，求下述各总体的密度
4、函数中的未知参数的矩估计及极大似然估计。（1）其中为未知参数。（2）其中为未知参数，为常数。（3）其中,为未知参数。分析：矩估计法和极大似然估计法是点估计的两种常用方法，所谓矩估计法就是用样本的某种矩作为总体的相应矩的估计，因此需要首先计算（或已知）总体的某（几）种矩，由于本例只涉及一个未知参数，故只要知道总体的某一种矩即可。极大似然估计可依据内容提要中的四个步骤来完成，其关键是正确构造似然函数。 解：（1）矩估计：由于 设为样本均值，令，解得未知参数的矩估计量为。 极大似然估计：设为观测值，构造似然函数 令 解得的极大似然估计量为。（2）矩估计：令 设为样本均值，令，解得未知参数的矩估计量为
5、。极大似然估计： 设为观测值，构造似然函数 令 ，解得，因此的极大似然估计为。（3）矩估计令,解得。极大似然估计:构造似然函数 令 解得 11设为总体的一个样本，且服从几何分布，即，求的极大似然估计量。 解：设为观测值，构造似然函数 令，解得，因此的极大似然估计为 12设为总体的一个样本，且服从参数为的二项分布，求的极大似然估计量。解：设为观测值，则构造似然函数 令，解得， 因此的极大似然估计量为 13设为来自总体的一个样本，且存在，问统计量（1）、（2）是否为的无偏估计。（1）； （2）。 解：（1）由于 所以不是的无偏估计； （2）所以是的无偏估计； 14设总体X服从 ，为来自总体X的一个
6、样本，试问统计量（1）、（2）、（3）是否为的无偏估计，并从无偏估计中找出较好的一个。 （1）； （2）； （3）。 解：（1）由于 所以是的无偏估计； （2） 所以是的无偏估计。 （3） 所以是的无偏估计。而 ； ； 。显然，故较好。15设某种元件的使用寿命的概率密度为，其中为未知参数。又设是的一组样本观察值，求的极大似然估计值。 解: 构造似然函数 (与参数无关) 由条件，当时， ()，所以当时，似然函数取得最大值，从而知。16设总体的概率分布为 0 1 2 3 其中是未知参数，利用总体的如下样本值 3，1，3，0，3，1，2，3，求的矩估计值和极大似然估计值。解： 令 ，即，解得的矩估计
7、值为。对于给定的样本值，似然函数为 令 ，解得 因不合题意，所以的极大似然估计值为。17随机地从一批钉子中抽取16枚，测得其长度（单位cm）为2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11，设钉长服从正态分布，试就以下两种情况求总体均值的置信度为90%的置信区间：（1）若已知；（2）若未知。解:(1)取样本函数对于给定的=0.10，由 查标准正态分布表求得=1.645，又，于是得的置信度为0.90的置信区间是 ( (2)取样本函数对于给定的=0.10，由 查表得=1.7531，又，,
8、，于是的置信度为0.90的置信区间是 18为了估计灯泡使用时数的均值及标准差，测试10只灯泡，得小时，。如果已知灯泡使用时数服从正态分布，求总体均值、标准差的置信区间（置信度为0.95）。 解: (1)取样本函数对于给定的=0.05，由 得=2.2622，于是的置信度为0.90的置信区间是 (2) 取样本函数 对于给定的，由 查(9)分布表得。得的置信度为0.95的置信区间是，）=（189.47,1333.33）;的置信度为0.95的置信区间是(13.76,36.51). 19随机的取某种炮弹9枚做试验，得炮口速度的样本标准差（米/秒）。设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹炮口速度的标准差的95
9、%的置信区间。解：选样本函数 依题意，由分布表及，得， ，故的置信度95%的置信区间为 10（修订版）解: (1)取样本函数对于给定的=0.05，由 得=2.093，又，于是的置信度为0.90的置信区间是 (2) 取样本函数 对于给定的，由 查(9)分布表得。得的置信度为0.95的置信区间是=（0.168,0.322）20随机的从批导线中抽取4根，又从批导线中抽取5根，测得电阻（）为批导线：0.143，0.142，0.143，0.137，批导线：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140，设测定数据分别来自正态总体、，且两样本相互独立。又、均为未知，试求的置信度为95%的置信区
10、间。 解:取样本函数 又知，得，查表得，经计算， 由，得从而得 的0.95的置信区间为（-0.002，0.006）21设两位化验员、独立地对某种聚合物含氯量用同样的方法各作10次测定，其测定的样本方差依次为，设、分别为、所测定的测定值总体的方差，两总体均服从正态分布。试求方差比/的置信度为95%的置信区间。解：取样本函数 查表=4.03，得方差比的置信度为0.90的置信区间是（0.222,3.601）.22由经验知某零件重量。技术革新后，抽了六个样品，测得重量为（单位：g）14.7，15.1，14.8，15.0，15.2，14.6，已知方差不变，问平均重量是否仍为15？（）解：依题意需检验假设
11、，由于方差，故取统计量 (当成立时)由此知的拒绝域为，经计算 , 对于给定的，由,即 查正态分布表得，可见，故接受，即认为平均重量仍是15。23原铸造成品率的平均值为83.8%，今换用便宜的原料，成品率抽样数据（%）如下：83.9，84.6，82.4，84.1，84.9，82.9，85.2，83.3，82.0，83.5，问原料代用后，成品率是否发生了变化？（=0.05）分析：依题意，可认为成品率这样的计量值数据服从正态分布，因此该问题即为方差未知的情况下，检验成品率的平均值是否仍为83.8%。 解：依题意需要检验假设，故选取统计量： （成立时）对于给定的显著性水平=0.05，由，查分布表得临界值=2.262。经计算得，。由于，从而应接受假设。即原料代用后，成品率无显著变化。 24设某产品的生产工艺发生了改变，在改变前后分别独立测了若干件产品的某项指标，其结果如下： 改变前：21.6，20.8，22.1，21.2，20.5，21.9，21.4； 改变后：24.1，23.8，24.7，24.0，23.7，24.3，24.5，23.9。且假定产品的该项指标服从正态分布，求工艺改变前后该产品的此项指标稳定状况有无明显改变（=0.05）？
