排列组合综合应用

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1、排列组合综合问题解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1. 认真审题弄清要做什么事2. 怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时 进行,确定分多少步及多少类。3. 确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题,元素总数是 多少及取出多少个元素.4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解 题策略一. 按事件完成的方案分步进行。解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受

2、位置的约 束，（几个元素可以占同一位置）可以逐一安排各个元素的位置，一般地 n 不同的元素没有限制地安排在 m个位置上的排列数为mn种 例1.把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法？练习1:某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯，下 电梯的方法练习2.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能 的种数有例2.有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从 10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A 1260 种 B 、2025 种 C 、2520 种 D 、5040 种 练习1： 12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，

3、 若每个路口 4人,则不同的分配方案有（）A G；C84C：种B3C：C；C44 种C皿A3种D、警种2、在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节 目顺序，有多少中插入方法？二. 特殊元素和特殊位置优先策略位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的 方法,若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素.若以位置分 析为主,需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置。若有多个约束条件，往 往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件例3、用1,2, 3, 4, 5, 6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列 条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千

4、位 （2）数字1不在个位，数字6不在千位。练习.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数例4.由0, 1, 2, 3, 4, 5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？练习1:用0,1,2,3,4,5 这六个数字组成没有重复的四位偶数，将这些数字从 小到大排列起来，第71个数是练习2.从0,123,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？练习3.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有（）A、140 种 B 、80 种 C 、70 种 D 、35 种例5.从6名

5、运动员中选出4人参加4X 100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？练习.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？练习2.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？例6.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能唱歌,5人会跳舞,现要演出一 个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少选派方法练习：1. 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有种。2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人,2

6、号船最多乘2人,3号船只 乘1人，他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船，这3人共有多少乘船方法.三. 排列组合混合问题先选后排策略从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例7.有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少 不同的装法.练习.1、四个不同球放入编号为1, 2, 3, 4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？练习2、4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？练习3、5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分 法种数为（）A、480 种 B 、240 种 C 、1

7、20 种 D 、96 种例8. 9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练， 有多少种不同的分组方法？练习：一个班有6名战士 ,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同 的任务,每人完成一种任务，且正副班长有且只有1人参加,则不同的 选法有种例9:.从0到9十个数字中，任选2个奇数和3个偶数,能组成多少个没有重 复数字的五位数？练习、有五张卡片，它的正反面分别写 0与1, 2与3, 4与5, 6与7, 8与 9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位 数？四. 相邻元素捆绑策略题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例10. 7

8、人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法练习1.4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种?练习3、某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安 排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（）五. 不相邻问题插空策略元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规 定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例11. 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出 场，则节目的出场顺序有多少种？练习.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么

9、不同的排法种数是（ ）A 1440 种 B 、3600 种 C 、4820 种 D 、4800 种变式1:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不 同种数为变式2.马路上有编号为123,4,5,6,7,8,9的九只路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条 件的关灯方法有多少种？变式3、从1, 2, 3,-, 1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多 少种不同的去法六. 定序问题倍缩、空位插入策略 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法 还可转化为占位插入法。例 12、 7人排队,其中甲乙丙 3人顺

10、序一定共有多少不同的排法练习1. A, B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）A、 24 种 B 、 60 种 C 、 90 种 D 、 120 种 练习 2、用 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 这七个数字组成没有重复数字的七位数中,（ 1 ）若偶数 2, 4, 6 次序一定,有多少个？（2）若偶数 2, 4, 6 次序一定,奇数 1, 3, 5, 7 的次序也一定的有多少 个？变式:10 人身高各不相等 ,排成前后排,每排 5人,要求从左至右身高逐渐增 加,共有多少排法？七. 平均分组问题除法策略 平均分成的组（组无序号）

11、不管它们的顺序如何 ,都是一种情况 ,所以分组后 要一定要除以An（n为均分的组数）避免重复计数。例13. 6 本不同的书平均分成 3堆,每堆 2本共有多少分法？练习：1将13个球队分成3组，一组5个队,其它两组4个队，有多少分法?2.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为3. 某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个 班，则分派方法的种数。八. 元素相同问题隔板策略将n个相同的元素分成m份（n, m为正整数），每份至少一个元素，可以 用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为

12、、 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采用隔板法。例14.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？练习1、某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学 生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种。练习2.有20个不加区别的小球放入编号为1, 2, 3的三个盒子里，要 求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？（）练习3、5个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟 不同的带法.变式1 . x y z w =100求这个方程组的自然数解的组数变式2、求（a+b+c） 10的展开式的项数.九多排问题直排策略把元素排成几排的问题可归结为一排考

13、虑，再分段处理例15.8人排成前后两排，每排4人,其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排 法练习.（1） 6个不同的元素排成前后两排，每排 3个元素，那么不同的排法 种数是（）A 36 种 B 、120 种 C 、720 种 D 、1440 种练习（2） 8个不同的元素排成前后两排，每排 4个元素，其中某2个元素要 排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？变式：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定 前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排 法的种数是_十环排问题线排策略把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟） 不同的排

14、法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法 认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列 n个普通排列：玄“忌代川,an；a2,a3, a4,M,an,M;an,aJ）l a在圆排列中只算一种，因为旋转后可以 重合，故认为相同，n个元素的圆排列数有 种.因此可将某个元素固定展成n单排，其它的n-1元素全排列.一般地,n个不同元素作圆形排列，共有（n-1）!种排法如果从n个不同元素中取 出m个元素作圆形排列共有丄A：n例16. 8人围桌而坐，共有多少种坐法？练习.5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法?十一.错位排列例17、同室四人各写一张贺卡

15、，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送 出的卡片，则不同的分配方法有 种练习：有五位客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后 每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子, 问5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？例18.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5 的五个盒子，现将5个球投入这五个盒子内，要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编 号与盒子的编号相同，有多少投法十二：合并单元格解决染色问题 例19、如图1, 一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区 域不 得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）。3,5练习1.将3种作物种植在排成一行的5块试验田里，每快种植一种作物且相 邻的试验田不能种植同一作物 ，不同的种植方法共 种（以数字作答）2. 某城市中心广场建造一个花圃，花圃分为 6个部分（如图），现要栽种 4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种（以数字作答）3.如图，用不同的5种颜色分别为ABCD五部分着色，相邻部分不能用同 一颜色，但同一种颜色可以反复使用也