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1、第五章 置换群与酉群51 n阶置换群Sn【定义5。1】 (置换)将n个数字1,,,n的排列映为排列,称为一个n阶的置换,记为s,。置换s把a换为1,a2换为b2,,a换为bn,它决定于诸双数码的对换,与诸对数码的排列顺序无关。【定义5。2】 (置换群)定义两个置换,的乘积r为先实行置换,再实行置换r,则在此乘法下所有n阶置换作成的集合,构成一个群,称为阶置换群或对称群,记为S。单位元:恒等置换。逆元:,,置换的乘法满足封闭性和结合律,Sn群的阶为n!。【定义5.】 (轮换)一种特殊形式的置换:称为轮换,记为,轮换数码的个数称为轮换的阶。系 轮换内的数码作轮换,仍表示同一个轮换,即:。系2 两个
2、轮换和若没有公共数码,则称它们相互独立;相互独立的轮换之间的乘积满足交换律,即: 系3 任意的n阶置换总可以分解为相互独立轮换的乘积。例如:( 4 5)(2)(36)(1 5)(3 6)=()()(n)一阶的轮换将自身映为自身,可略去不记,故S0(1)()=().系4 轮换的逆:(e1 2 em)1(em m-1e e1)系5 阶轮换(e1 2)称为对换,任一m阶轮换可以写为(m-1)个对换的乘积。如: 一般地有:。由于诸对换因素有相同数码e1,故它们的乘积不可交换.系6 任意对换( a+k)满足递推关系:(a a+)(a+ k) (aa1) (a+1 a+k)证明:右边 =左边。系7 由系、
3、系5、系6可知,任意置换可以写为相临数码对换的积.例如=(1 4)( )=(2 )( 2)(2 )(3)(1 )( 3)=( 4)(2 3)(3 )( 2)( 4)(2 3)(3 4)(2 3)(1 2)(2 3)一般地:(a ak)(a a+k)(a a+)(a+1 k)=(2 k)(a+1 a)(a+2 a+)(a +1)(a+)(a+1 a+2)(a2 a+)定理5。1 具有相同轮换结构的置换构成S群的一个类。证明:两个置换具有相同轮换结构是指它们包含相个数的轮换因子,并且各轮换因子中数码个数也分别相同。 共轭置换具有相同轮换结构:, , 有: s的共轭元由t对s中上下两行数码同时作t置
4、换得到。当为无公共数码轮换的积的形式时,的轮换形式由t对s的每个轮换因子中的数码作置换得到。假设置换s有k个独立轮换因子si, i=1,2,构成,s=s1s, 则共轭t= ts1t-1ts2t-1tkt.考察t对一个轮换因子si的共轭运算,假设:,在的变换下,si的第一行假设被变换为(t1 t2 tm1 tm),则其第二行必变换为(2 t3 tm 1),于是,,仍然是同阶的轮换,它由对si的中的数码做置换得到.故tst通过t对s中的轮换数码做置换得到,两者具有相同的轮换结构。如:,有:。 具有相同轮换结构的置换相互共轭:若s,具有相同轮换结构:,,则存在,有r = t1。由,知具有相同轮换结构
5、的置换构成n群的一个类。系1 S群的一个类可用轮换结构(v)来表示,即该类由独立的v1个阶轮换,v2个2阶轮换,,vn个n阶轮换。v,v2,vn为非负的整数,满足:系2 n群中的类(v)的元素个数为:,这是因为: l阶的一个轮换有l种写法:,v个l阶轮换共有种写法; vl个阶轮换有vl!种不同的排列.系3 Sn群的类常用来描述,其中:,显然:,且。,一般地.称为的一个分割,Sn群中共轭类的数目等于n的分割个数;两个分割,如果第一个非零差,则称大于,记为。系 的一个分割或S群的一个类经常用杨图来表示:杨图是个小方格的排列,排列方式为第一行、第二行、第n行各由个小方格组成,杨图第一列的小方格上下对
6、齐。例5。1 S3群的类分割:3,2 1,1 113,杨图为:分别对应(132030),(1 1 0),(10 31).S4群的类分割:,3 1,22,2 1 1,1 1 ,5个类对应的杨图:对应(1 20 30 4),(12 21 3040),(10 2 30 ),(2 14),(0 30 4)。一个杨图若可以由另一个杨图的行列互换得到,则称该二杨图相互共轭;若一个杨图行列互换而杨图不变,则称它自轭。.2 杨盘及其引理【定义5。4】(杨盘)将数字1,2,分别填到Sn群杨图的n个小方格中,这样的杨图称为杨盘。S6的杨图2 1的两个杨盘a和T:系1 由一个杨图可以得到n!个杨盘。系 杨盘中的数字
7、可用其所在的行和列即(i,j)确定。系 同一杨图的不同杨盘T和Tb,可通过一置换相互转换.将杨盘a和中的个数码从左到右、从上到下排成有序列:,则将杨盘T变为杨盘T的置换。如S6的杨图 21的两个杨盘T和T有:系 由一个杨盘T可以定义行置换R()和列置换C(T):R(T):保持各行中数字在所在行中的全部置换p的集合;(T):保持各列中数字在所在列中的全部置换的集合q()和C(T)显然为n的子群,它们有唯一公共元素s0;若杨盘对应杨图为,则R(T)的阶显然为;(T)的阶为杨图为杨图的共轭。系 由行,列置换p,q可以定义算符(T)和Q(T):,, .P()和Q(T)显然为S的群代数中的元素。置换的奇
8、偶性:奇(偶)置换:能分解为奇(偶)数个对换乘积的置换。阶为l的轮换的奇偶性与1的奇偶性相同。系6 同一杨图的不同杨盘,其同构,同构。例5。2 6的杨盘Ta对应的行置换R(T)和列置换C(T): ((1)为恒等置换s0)。【定义55】 (杨算符)杨盘T的算符P(T)、Q(T)的乘积,定义为杨盘T的杨算符E(T):显然。系1 若,且,则必有。证明:由,得而故必有,,即.系2 由系1知杨算符E(T)为不同群元的线性组合,必有。下面介绍几个关于杨盘的引理,并证明上述定义的杨算符正是S的群代数的本质本原幂等元。引理51 设是由置换相联系的杨盘,;如果置换s作用在T上,使得T(,j)数字变到T中的处,则
9、使得中的(i,)数字也变到中的处。证明:设分别为由杨盘的行数码从左至右、由上至下得到的n个数码的序列,由于,故有: ,由于等于r对的上下行分别作置换,故必有:,比较置换r第二个等号的两边易知,若左边第个数码ti在右边的位置为第j个数码,则左边与数码t同列的数码在右边的位置也必然为j;故在对应的杨盘中发生变化的数码位置也相同,定理得证。例53 系1 设,则,.证明: 选定任意,,只引起中同行数字置换,有只引起杨盘中同行数字置换,故。当p取遍(T)中元素时,可得。实际上因为T,属同一杨图,R(T),同构,为S的相互共轭子群。类似地可以证明:。故可得:,,。以上结论给出了同一杨图的不同杨盘的杨算符之
10、间的关系。引理5. 设p和q分别是杨盘T的行列置换,则T中位于同一行的任意两数字不可能出现在的同一列中;反之,若,而T中位于同一行的任意两个数字不出现在的同一列,则杨盘存在行列置换p,q,使得r = pq。 证明:1.,令,。q为杨盘T的列置换,故为杨盘列置换.有,而列置换不能将中同一行的任意两数字变到的同一列,而,故的行数码与的行数码相同(因为),故亦即T中同一行的任意两数码经p再经即p作用后不能变到的同一列。2反过来,T中同一行任意两数码不出现在的同一列,亦即同列两数码处在T的不同行中,故总可以用行置换对T作行置换使结果与的各列数码相同(上下次序可不同),进一步对作列置换,可使得与完全相同
11、,即。另一方面,令,由 (因),故有。证毕。引理.是同一杨盘的一个结论,对于不同杨图的杨盘有引理5.3。引理.3 设杨盘T和分别属于杨图,则存在两个数字位于T的同一行和的同一列。证明:设,,意味着 第一个不等于0的。反证:设T中任两同行数码均在的不同列中,先看T,若其第一行的个数字的任两个均在不同列中,即个数字在的不同列中,则必须,而,故必有,且可对作列置换使结果和T的第一行数码相同(次序可能不同);由于列置换不会使原来中同列的数字变为不同列(即同行),故仍有T中两任意同行数码均在的不同列中,故对于和的第二行与第一行情形同理,有,如此进行下去,最后可得到,与题设有矛盾。定理得证。引理5。3是不
12、同杨图的杨盘间的一个重要性质。 引理5.4 若有两个数字,位于杨盘T的同一行,又位于杨盘的同一列,则它们的杨算符满足:.证明:设数字a1, a2位于杨盘的同一行又位于的同一列,则有对换,为Sn的子群,又为群Sn单位元,且为奇置换,,且由重排定理有:,则: 故有:。上式左乘,右乘(),有:, 即。系 由引理5。3和引理5.知,当为属于不同杨图,设,则有.引理5。 设Sn群代数中的矢量,T为n的杨盘。若有,则与T盘的杨算子E(T)相差一个常数因子,即, 常数与有关。证明: 首先可证Sn中不能写成形式的群元s可以表示为ps形式,即s=psq,令,或。由于s不具q形式,由引理2的逆反命题可知,至少存在
13、两个数码1,a2即位于T的同一行又位于的同一列.取,有;由于由引理5.1知,,取,故有:。 由满足的条件有:,可定出的系数:is具有p形式时,取上式最后一等号左边的s为so,左边求和中有,等号右边的pq项为:,由项系数相等,有;令,有;选取不同、q可以得到所有具有pq形式的s群元的系数。ii当s不具p形式时,可由上述的结论选取取,利用pq =s由上式可得:,即,而此时(因),故,有。综上两种情形,的系数.故:即,定理得证。引理5。6 杨盘的杨算符(T)是群代数Rn的一个本质的本原幂等元,不变子空间RE是S群的一个不可约的表示空间,其维数为!的因子。证明:,有:,由引理5。有:, 故若,则有E为本质幂等元。 可定出的取值情况:对于给定杨盘T,由于E(T)为幂等元,则存在与之对应的投影算符P,有,下边证明由算符P的迹可定出:i。取Sn群元素s1, s,s3, ,sn为Rn的基底,在此基下,变换P的对角元Pj为: (令) =(令)= (E(T)在s0上的分量为)故迹:。ii.若取sn的基为:,其中为子空间Rsn的基(易验证snE为线性空间,因,最小等于)。在此基下变换P的对角元Pjj:A 1,2,,时: ;时: (因,无上的分量)变换P的迹不随