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1、第五章 置换群与酉群51 n阶置换群Sn【定义5。1】 （置换）将n个数字1，,，n的排列映为排列,称为一个n阶的置换，记为s,。置换s把a换为1，a2换为b2,，a换为bn，它决定于诸双数码的对换,与诸对数码的排列顺序无关。【定义5。2】 （置换群)定义两个置换，的乘积r为先实行置换,再实行置换r，则在此乘法下所有n阶置换作成的集合，构成一个群，称为阶置换群或对称群，记为S。单位元：恒等置换。逆元：,，置换的乘法满足封闭性和结合律,Sn群的阶为n!。【定义5.】 (轮换）一种特殊形式的置换:称为轮换,记为,轮换数码的个数称为轮换的阶。系 轮换内的数码作轮换,仍表示同一个轮换,即：。系2 两个
2、轮换和若没有公共数码,则称它们相互独立;相互独立的轮换之间的乘积满足交换律，即： 系3 任意的n阶置换总可以分解为相互独立轮换的乘积。例如：（ 4 5)(2）(36)(1 5）(3 6）=()(）（n)一阶的轮换将自身映为自身，可略去不记,故S0(1）（)=（）.系4 轮换的逆:（e1 2 em）1（em m-1e e1）系5 阶轮换（e1 2）称为对换,任一m阶轮换可以写为（m-1）个对换的乘积。如： 一般地有：。由于诸对换因素有相同数码e1,故它们的乘积不可交换.系6 任意对换( a+k）满足递推关系:（a a+)(a+ k) （aa1） (a+1 a+k)证明:右边 =左边。系7 由系、
3、系5、系6可知,任意置换可以写为相临数码对换的积.例如=（1 4)（ )=(2 )（ 2)(2 )（3)（1 ）（ 3)=（ 4）(2 3）（3 )（ 2)（ 4)(2 3)（3 4）（2 3)（1 2)（2 3)一般地：(a ak）（a a+k）（a a+）（a+1 k）=(2 k)（a+1 a)（a+2 a+)(a +1）(a+）(a+1 a+2)(a2 a+)定理5。1 具有相同轮换结构的置换构成S群的一个类。证明：两个置换具有相同轮换结构是指它们包含相个数的轮换因子，并且各轮换因子中数码个数也分别相同。 共轭置换具有相同轮换结构：, ， 有: s的共轭元由t对s中上下两行数码同时作t置
4、换得到。当为无公共数码轮换的积的形式时,的轮换形式由t对s的每个轮换因子中的数码作置换得到。假设置换s有k个独立轮换因子si, i=1,2,构成,s=s1s， 则共轭t= ts1t-1ts2t-1tkt.考察t对一个轮换因子si的共轭运算，假设:,在的变换下,si的第一行假设被变换为（t1 t2 tm1 tm）,则其第二行必变换为（2 t3 tm 1)，于是,，仍然是同阶的轮换,它由对si的中的数码做置换得到.故tst通过t对s中的轮换数码做置换得到，两者具有相同的轮换结构。如:，有:。 具有相同轮换结构的置换相互共轭：若s，具有相同轮换结构：,，则存在,有r = t1。由，知具有相同轮换结构
5、的置换构成n群的一个类。系1 S群的一个类可用轮换结构(v）来表示,即该类由独立的v1个阶轮换，v2个2阶轮换,，vn个n阶轮换。v，v2，vn为非负的整数，满足:系2 n群中的类（v）的元素个数为：，这是因为： l阶的一个轮换有l种写法：，v个l阶轮换共有种写法； vl个阶轮换有vl！种不同的排列.系3 Sn群的类常用来描述,其中：，显然：，且。，一般地.称为的一个分割，Sn群中共轭类的数目等于n的分割个数；两个分割，如果第一个非零差,则称大于，记为。系 的一个分割或S群的一个类经常用杨图来表示：杨图是个小方格的排列,排列方式为第一行、第二行、第n行各由个小方格组成，杨图第一列的小方格上下对
6、齐。例5。1 S3群的类分割：3，2 1,1 113，杨图为:分别对应(132030)，（1 1 0）,（10 31）.S4群的类分割：，3 1，22，2 1 1，1 1 ,5个类对应的杨图:对应(1 20 30 4),(12 21 3040),(10 2 30 ），(2 14），（0 30 4）。一个杨图若可以由另一个杨图的行列互换得到,则称该二杨图相互共轭;若一个杨图行列互换而杨图不变,则称它自轭。.2 杨盘及其引理【定义5。4】（杨盘)将数字1,2,分别填到Sn群杨图的n个小方格中,这样的杨图称为杨盘。S6的杨图2 1的两个杨盘a和T：系1 由一个杨图可以得到n！个杨盘。系 杨盘中的数字
7、可用其所在的行和列即（i，j)确定。系 同一杨图的不同杨盘T和Tb，可通过一置换相互转换.将杨盘a和中的个数码从左到右、从上到下排成有序列：，则将杨盘T变为杨盘T的置换。如S6的杨图 21的两个杨盘T和T有：系 由一个杨盘T可以定义行置换R()和列置换C（T)：R（T）：保持各行中数字在所在行中的全部置换p的集合；（T）：保持各列中数字在所在列中的全部置换的集合q（）和C(T）显然为n的子群,它们有唯一公共元素s0；若杨盘对应杨图为，则R（T）的阶显然为；（T）的阶为杨图为杨图的共轭。系 由行，列置换p，q可以定义算符（T）和Q（T)：，, .P（）和Q(T)显然为S的群代数中的元素。置换的奇
8、偶性：奇（偶)置换:能分解为奇（偶)数个对换乘积的置换。阶为l的轮换的奇偶性与1的奇偶性相同。系6 同一杨图的不同杨盘，其同构，同构。例5。2 6的杨盘Ta对应的行置换R(T）和列置换C(T）： （(1）为恒等置换s0）。【定义55】 （杨算符）杨盘T的算符P(T）、Q（T）的乘积，定义为杨盘T的杨算符E(T)：显然。系1 若，且,则必有。证明：由，得而故必有,，即.系2 由系1知杨算符E（T)为不同群元的线性组合,必有。下面介绍几个关于杨盘的引理,并证明上述定义的杨算符正是S的群代数的本质本原幂等元。引理51 设是由置换相联系的杨盘，;如果置换s作用在T上,使得T（,j）数字变到T中的处，则
9、使得中的(i，）数字也变到中的处。证明：设分别为由杨盘的行数码从左至右、由上至下得到的n个数码的序列，由于，故有: ，由于等于r对的上下行分别作置换，故必有：,比较置换r第二个等号的两边易知,若左边第个数码ti在右边的位置为第j个数码，则左边与数码t同列的数码在右边的位置也必然为j；故在对应的杨盘中发生变化的数码位置也相同,定理得证。例53 系1 设，则，.证明： 选定任意,，只引起中同行数字置换,有只引起杨盘中同行数字置换，故。当p取遍(T)中元素时，可得。实际上因为T,属同一杨图，R（T)，同构,为S的相互共轭子群。类似地可以证明：。故可得：,，。以上结论给出了同一杨图的不同杨盘的杨算符之
10、间的关系。引理5. 设p和q分别是杨盘T的行列置换,则T中位于同一行的任意两数字不可能出现在的同一列中；反之，若,而T中位于同一行的任意两个数字不出现在的同一列，则杨盘存在行列置换p,q，使得r = pq。 证明：1.,令，。q为杨盘T的列置换，故为杨盘列置换.有,而列置换不能将中同一行的任意两数字变到的同一列,而,故的行数码与的行数码相同（因为)，故亦即T中同一行的任意两数码经p再经即p作用后不能变到的同一列。2反过来，T中同一行任意两数码不出现在的同一列，亦即同列两数码处在T的不同行中，故总可以用行置换对T作行置换使结果与的各列数码相同（上下次序可不同),进一步对作列置换,可使得与完全相同
11、，即。另一方面，令,由 （因）,故有。证毕。引理.是同一杨盘的一个结论,对于不同杨图的杨盘有引理5.3。引理.3 设杨盘T和分别属于杨图,则存在两个数字位于T的同一行和的同一列。证明:设,，意味着 第一个不等于0的。反证：设T中任两同行数码均在的不同列中，先看T，若其第一行的个数字的任两个均在不同列中,即个数字在的不同列中,则必须，而，故必有,且可对作列置换使结果和T的第一行数码相同(次序可能不同）；由于列置换不会使原来中同列的数字变为不同列（即同行),故仍有T中两任意同行数码均在的不同列中,故对于和的第二行与第一行情形同理,有,如此进行下去,最后可得到,与题设有矛盾。定理得证。引理5。3是不
12、同杨图的杨盘间的一个重要性质。 引理5.4 若有两个数字，位于杨盘T的同一行，又位于杨盘的同一列，则它们的杨算符满足：.证明：设数字a1， a2位于杨盘的同一行又位于的同一列,则有对换，为Sn的子群,又为群Sn单位元,且为奇置换,，且由重排定理有：,则： 故有：。上式左乘，右乘（）,有:， 即。系 由引理5。3和引理5.知,当为属于不同杨图,设，则有.引理5。 设Sn群代数中的矢量，T为n的杨盘。若有，则与T盘的杨算子E（T）相差一个常数因子，即， 常数与有关。证明： 首先可证Sn中不能写成形式的群元s可以表示为ps形式，即s=psq，令，或。由于s不具q形式,由引理2的逆反命题可知，至少存在
13、两个数码1,a2即位于T的同一行又位于的同一列.取，有；由于由引理5.1知，,取，故有:。 由满足的条件有:,可定出的系数:is具有p形式时，取上式最后一等号左边的s为so，左边求和中有，等号右边的pq项为：，由项系数相等,有;令,有;选取不同、q可以得到所有具有pq形式的s群元的系数。ii当s不具p形式时，可由上述的结论选取取,利用pq =s由上式可得:，即，而此时(因），故，有。综上两种情形，的系数.故:即，定理得证。引理5。6 杨盘的杨算符(T)是群代数Rn的一个本质的本原幂等元,不变子空间RE是S群的一个不可约的表示空间，其维数为！的因子。证明：,有：，由引理5。有：， 故若，则有E为本质幂等元。 可定出的取值情况：对于给定杨盘T，由于E(T）为幂等元，则存在与之对应的投影算符P，有,下边证明由算符P的迹可定出：i。取Sn群元素s1， s，s3, ，sn为Rn的基底，在此基下，变换P的对角元Pj为： （令） =（令）= （E(T）在s0上的分量为）故迹:。ii.若取sn的基为：,其中为子空间Rsn的基（易验证snE为线性空间,因，最小等于)。在此基下变换P的对角元Pjj：A 1,2,，时: ；时： (因，无上的分量）变换P的迹不随
