第5章VAR模型分析

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1、第5章 VAR模型分析51 引论 考虑简单的二维系统，如果没有充分的理由确定变量是否为外生变量的情况下，可以认为两变量具有反馈关系。假设的时间路径受的现期值与过去值影响，的时间路径受的现期值与过去值影响： （5.1.1） （5.1.2）这里假设：（1）是平稳的；（2）是白噪声扰动，标准差分别为；（3）是不相关的。方程（5.1.1），（5.1.2）构成了一阶向量自回归(VAR)。方程（5.1.1），(5.1.2)称为结构VAR, 这个系统反映了之间的相互反馈。如，是变化一个单位对的当期影响，是变化一个单位对的影响。注意：分别是对和的更新（或冲击）。当然，若不为零，有间接的当期影响，如，不为零，对

2、有间接当期影响。这样的系统可以捕捉反馈影响。方程（5.1.1），（5.1.2）不是导出型 (约化型) 方程，因为，对有当期影响，且对有当期影响。但可以将这方程系统转化成一个更便于应用的形式。我们可将这系统写成下面形式 或 （5.1.3）这是 ，前乘可得到标准形式的VAR 这里定义是向量的第i个元素，是矩阵中的i行j列元素，是向量中的第i个元素，则（5.1.3）可写为 （5.1.4） （5.1.5）方程（5.1.4），(5.1.5)称为标准型的VAR。注意这时误差项和是两个冲击的组合。因为,我们可计算如下: (5.1.6) (5.1.7)由于是白噪声过程，所以， 因此，是序列无关的，也是序列无关

3、的，且分别有零均值,常量方差。冲击的协方差矩阵为又由于 （5.1.7）一般来说（5.1.7）不为零，所以是序列相关的，即两个冲击是相关的。当时（即对没有当期影响，对也没有当期影响）。由于中所有元素都与时间t无关，所以可写成如下 52 估计和识别 Box-Jenkins方法的一个明确目的是提供一种建立节俭模型方法，最终目标是做出较精确的短期预测。 Sims (1980) 对在结构模型中施加“识别限制”的评论中，提出一个估计策略。考虑下面多维自回归过程 （5.2.1）这里向量，截距向量，系数矩阵，误差向量。在Sims的方法中，需要确定VAR中的适当的变量和适当的滞后长度。根据有关的经济模型来选取V

4、AR变量，通过滞后长度的检验来确定方程中的滞后长度。这样做，不是为了减少估计的参数个数。矩阵含有n个参数，每个都含有个参数，所以，有个参数需要估计。毫无疑问，因为这些估计的参数中的许多是不显著的，VAR将是过度参数化。然而，由于目标是找出这些变量之间的关系，并不是作短期预测。加入一些不适当的零限制也许会损失重要的信息。而且，解释变量之间可能是高度共线性，对单个系数的t-检验不是非常可靠的方法。 方程（5.2.1）的右手边只包含滞后变量，且误差项是序列无关的，常数方差。因此，这系统中每个方程都能用OLS估计，而且OLS估计是一致的且是渐近有效的。在建立VAR模型中，人们一直在争论：VAR 中的变

5、量是否要求是平稳的。Sims(1980)和 Sims,Stock,and Watson (1990)建议即使变量含有一个单位根，也不要使用差分。他们认为：VAR分析的目的是确定变量之间的关系，并不是参数的估计，不主张差分的主要理由是损失数据中关于公共趋势（如，协整关系的可能性）的信息。同样，人们也在争论：数据是否需要去掉趋势。在一个VAR中，一个带有趋势的变量可由一个单位根加漂移项来很好地近似。但是，大多数观点认为，VAR中变量的形式应能模拟真实的数据生成过程。在估计结构模型时，这是非常重要的。这些问题，留在后面几章讨论。现在假设所有的变量都是平稳的。 识别 为了说明识别程序，我们回到二变量一

6、阶VAR的例子。由于VAR过程中的反馈，方程（5.1.1），（5.1.2）不能直接估计，原因在于相关，相关。标准估计方法要求解释变量与误差项无关。注意，在估计标准型VAR（5.1.4），（5.1.5）中，不存在这样问题。OLS能提供中两元素的估计，中4个元素的估计。而且，从两个回归中获得残差，可以得到的方差，协方差的估计。问题在于是否能重新得到由方程（5.1.1），（5.1.2）所提供的信息。换句话说，对于（5.1.4），（5.1.5）构成的VAR模型的OLS估计，原来的方程组（5.1.1），（5.1.2）是否是可识别的？如果我们比较方程组（5.1.1），（5.1.2）中参数的个数与方程组(5

7、.1.4), (5.1.5)中参数的个数，可以看出，除非对方程（5.1.1），（5.1.2）施加一些必要的限制，否则就是不可识别的。估计方程(5.1.4), (5.1.5) 有9个参数需要估计，6个系数的估计和3个参数的值。而结构方程(5.1.1), (5.1.2)中包含十个参数。除2个截距系数外,4个自回归系数和2个反馈系数，有2个标准差。总之，结构方程（5.1.1），（5.1.2）中包含10个参数，而VAR估计只得到9个参数。除非我们对其中的一个参数加上限制，否则不可能识别这个方程，方程（5.1.1），（5.1.2）是不足识别(underidentified)的。 识别模型的一种方法是Si

8、ms(1980)提出的逆归方程组型式。如果对结构方程组系数加入一个限制，如系数，这时结构方程变为 （5.2.2） 同样（5.1.6），（5.1.7）变为 限制意味着，对有当期影响，但的一步滞后影响。加入这个限制（也许是由于特殊的经济模型），得到了一个恰好识别系统。限制也意味着，可由下式给出 用前乘结构方程组，给出 或 （5.2.3）利用OLS估计这个方程组，就会得到这里 由于，则和，因此， 因此，我们有9个参数估计，代入上方9个方程中，并解出。这时可以利用、的估计和关系式，求出的估计。 限制意味着，对没有当期影响，在（5.2.3）中，都影响的当期值，而只有影响的当期值。只是对的冲击。按照这种三

9、角形式分解残差的方法称为Choleski分解。 在n个变量的VAR中，B是nn矩阵（有n个回归残差，n个结构冲击），要有个限制加入到回归残差和结构冲击中。因为，Choleski分解是三角形的，使矩阵B中有个值等于零。 5.3 脉冲反应函数自回归有运动平均表示，向量自回归也有向量运动平均表示（VMA）。向量运动平均表示是Sims(1980)方法的一个主要特征，我们可以捕捉各种对VAR中变量冲击的时间路径。为了说明，仍然采用二变量一阶VAR为例 (5.3.1)通过迭代，可得下面表示 （5.3.2） （5.3.3）结合（5.3.2）和（5.3.3）可有 为了简化上式，我们可以定义矩阵，其中的元素为：

10、 因此，运动平均表示可写成的形式 或 为了考察和之间的关系，运动平均表示是非常有用的。的系数可生成对的时间路径的冲击效果。四个元素是影响乘数。如，系数是的一个单位变化对的即时影响。同样，元素和是的一个单位变化对的一期反应。前移一期，则，也表示的单位变化对的影响效果。的单位脉冲的累积效果可通过对脉冲反应函数系数的求和来获得。如，n期之后，对的效应是。因此，n期之后，对的效应的累积之和是 令，得到长期乘数。因为被假设是平稳的，所以，对所有j, k有 收敛（有限） 系数都被称为脉冲反应函数，画出脉冲反应函数的图形（横轴为i，纵轴为）直观上给出了对各种冲击的反应程度。原则上，如果知道结构方程（5.1.

11、1）,(5.1.2)中所有系数，就能找出冲击的时间路径，做脉冲反应分析。 然而，由于被估计的VAR是不可识别的。系数和方差协方差矩阵不足以识别这个结构方程。因此，为了识别脉冲反应，对这个两个变量VAR系统必须加入一些限制。一种可能的识别限制是利用Choleski分解，使对没有当期影响，即令。误差项可被分解成 （5.3.4） （5.3.5）对给定，和，可利用（5.3.4），（5.3.5）计算，。在Choleski分解限制这个系统中，对没有直接影响（但的滞后值对的当期值有间接影响），但冲击对、有当期影响，所以这种分解对这系统产生了非对称性。由于这个原因，（5.3.4），（5.3.5）被称为变量的一

12、个次序（ordering）。冲击直接影响和，但冲击并不影响。因此，被说成是“在因果关系上先于”。 假设VAR的标准形式（5.1.4），（5.1.5）的估计结果是：，还假设矩阵的元素中，是和之间的相关系数（由表示）等于0.8。因此，有 图5.3.1（a）,(b)捕捉了，的一个单位冲击对，的影响的时间路径。如图5.3.1（a），的一个单位冲击引起跳跃一个单位，跳跃0.8个单位。在下一个周期，回到零，但系统的自回归性是使不能立刻回到它们的长期值。因为，所以，同样，的值收敛的它们的长期水平，平稳性保证了这个收敛。两个特征根是0.5和0.9。模型1：对冲击的响应 对冲击的响应 模型2： 对冲击的响应 对

13、冲击的响应图5.3.1 两个脉冲响应函数的一个单位冲击效果由图5.3.1(b)中通过比较图5.3.1（a）和图5.3.1(b)可看出这种分解的非对称性。的一个单位冲击引起增加一个单位；但是，对没有当期影响，使得，在下一个周期中，回到零。系统的自回归性质使得，图形中其它点是周期t+2到t+20的脉冲反应。因为这系统是平稳的，脉冲反应最终是递减的。在Choleski分解中，如果限制，而不是，结果会如何？因为矩阵是对称的，冲击的脉冲反应是类似图5.3.1（a）, 的脉冲反应类似于图5.3.1（b）。实线代表的时间路径，影线代表的时间路径。在实际中，研究者如何决定哪种分解时最适合的？一些情况下，也许有

14、理论支持一个变量对其它变量没有当期影响。但通常没有这种先验知识。而由于识别的需要，对系统加上一些限制结构。 次序（Ordering）的重要性取决于和的相关系数，这里，现在假设由估计的模型得到的一个值，使。在这种情况下，Ordering是不重要的。这时（5.3.4），（5.3.5）变成。由于方程之间没有相关性，由方程得到的残余等价于和，如果，都能假设为零。如果=1有一个冲击对两变量有当期影响。在的假设下，（5.3.4）（5.3.5）变为。若假设有。通常研究者需要检验的显著性。如在单变量模型中，可以使用正态分布检验零假设=0。若有100个观测值且，则认为显著。如果显著，通常的程序是使用特殊的Ordering来获得脉冲反应函数。这个结果与通过选取相反的Oedering获得的脉冲反应函数相比较。