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1、目录1行列式 12矩阵 23矩阵的初等变换与线性方程组 34向量组的线性相关性 65相似矩阵和二次型 91行列式1. “行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式；2. 代数余子式的性质： 、A和a的大小无关；j y 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0; 、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为AI ；3. 代数余子式和余子式的关系：M = （-1+jAA = （-1+jMyHj帀4. 设n行列式D :将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D，则D = （-1）n（-1）D ；1 1将D顺时针或逆时针旋转90。，所得行列式为D，则D = （-1）于D
2、 ；2 2将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D，则D =D ；3 3将D主副角线翻转后，所得行列式为D，则D =D ；4 45. 行列式的重要公式： 、主对角行列式：主对角元素的乘积； 、副对角行列式：副对角元素的乘积X （-1）皆； 、上、下三角行列式（I、| = M ）：主对角元素的乘积;、r |和|丄|：副对角元素的乘积x（1）于；拉普拉斯展开式:=AIBI、：=（1）m |a| |bI范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积;特征值;6. 对于n阶行列式A，恒有:XE- A亠+X（1）kS Xn-k，其中S为k阶主子式; kkk =17. 证明A = 0的方法: 、Al 一A ； 、
3、反证法; 、构造齐次方程组血=0，证明其有非零解; 、利用秩，证明r“； 、证明0是其特征值；2矩阵1. A是n阶可逆矩阵：o A 0 (是非奇异矩阵)；o r(A) = n (是满秩矩阵)o A的行(列)向量组线性无关；o齐次方程组Ax = 0有非零解；o &b e Rn， Ax = b 总有唯解；o A与E等价；oA可表示成若干个初等矩阵的乘积；o A的特征值全不为0；o ATA是正定矩阵；o A的行(列)向量组是Rn的一组基；o A是Rn中某两组基的过渡矩阵；2. 对于n阶矩阵A : AA* = A*A = AE无条件恒成立；3. (A-1)* = (A*)-1(A-i)t = (At
4、)-1(A*)t = (At )*(AB)t = BtAt(AB)* = B* A*(AB)-1 = B-1 A-i4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和;5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆:，则:As丿AI = AA kdA I；1 2II、A-i =A-i2As1丿、r A-1r A-1 I B丿l B-1丿、r A-1r B-B丿i A-1丿;（主对角分块）;（副对角分块）r AC-1r A-1 - A-CB-1i B丿i B-1 丿r A-1rA-1i CB丿-B-1CA-1 B-1 丿、;（拉普拉斯）;（拉普拉斯）3矩阵的初等变换与线性方程组1.
5、 一个m5矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F =fEr ；I 丿mn等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的 矩阵；对于同型矩阵A、B，若r（A） = r（B）o A B ；2. 行最简形矩阵： 、只能通过初等行变换获得； 、每行首个非0元素必须为1； 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）若(A, E)町(E, X)，则 A 可逆，且 X = A-i ； 、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A-iB，即：(A,B)(E, A-1B)；、求
6、解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax = b，如果(A,b) (E,x)，则A可逆，且x = A- b ；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念： 、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;、，左乘矩阵A，九乘A的各行元素；右乘,九乘A的各列元素;(k 丰 0)；r 1匸-1r 1-k、1=1 1丿1丿(k 丰 0)；、r(At ) = r(A)；若 A B，则 r(A) = r(B)；若P、Q可逆，则r=r(PA) = r(AQ) = r(PAQ)；(可逆矩阵不影响矩阵的秩)、max(r (A), r (B) r (A, B) r (A) + r (B)；(
7、探、r (A + B) r (A) + r (B)；(探、r(AB) min(r(A),r(B)；(探如果A是m xn矩阵，B是nxs矩阵，且AB = 0，贝U:(探)-1对调两行或两列，符号E(i, j)，且E(i, j)-1 = E(i, j)，例如:-1倍乘某行或某列，符号e(i(k)，且E(i(k)-1 = E(i( 1)，例如k倍加某行或某列，符号e(ij(k),且E(j(k)-1 = E(ij(-k)，如:5. 矩阵秩的基本性质:0 r(A ) min(m, n)；mxnI、B的列向量全部是齐次方程组AX = 0解(转置运算后的结论)；II、r(A) + r(B) r(A) + r
8、(B) -n ；6. 三种特殊矩阵的方幕：、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵(向量)X行矩阵(向量)的形式，再采用结合 律；1 a c、 、型如0 1 b的矩阵：利用二项展开式;二项展开式:0 0 1 丿(a + b)n C0an + C1 an-1b1 + + CmQn-mbm + + Cn-1fl1bn-1 + Cnbn =厶 Cmmbn-m ；nnnnnnm0注：I、 (a + b)n展开后有n +1项;II、Cmnn(n -1)(n - m +1) _ n!1D2Q3Q-Dmm !(n 一 m)!III、组合的性质： Cm Cn-mnnCr 2nnr0rCr nCr-1 ；nn-1、
9、利用特征值和相似对角化：7.伴随矩阵：nr (A) n、伴随矩阵的秩：r(A*)- 1r (A) n 一 1 ；0r(A) n 一 1C m C m + Cm-1n+1nn、伴随矩阵的特征值：A(AX 入X,A* |A|A-1 A*X 、A* A A-1、A* | A|n-18. 关于a矩阵秩的描述： 、r(A) - n，A中有n阶子式不为0，n+1阶子式全部为0;(两句话) 、r(A) n， A中有n阶子式不为0；9. 线性方程组：Ax b，其中A为mxn矩阵，贝U： 、m与方程的个数相同，即方程组Ax = b有m个方程； 、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax = b为n元方程;10.
10、线性方程组Ax = b的求解： 、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）； 、齐次解为对应齐次方程组的解； 、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:、a x + a x + + a x = b1111221nn1a x + a x + + ax = b数）厂aaa (x )r b)111211aa axb21222n2=2J aaa 一丿J XJ b丿m11 m22nrnn n、mmo Ax = b (向量方程,mmA为m xn矩阵，m个方程，n个未知、=P（b、（全部按列分块，其中p = b2I bn、 a x + a x + + a x
11、 = p (线性表出)1122n n、有解的充要条件：r（A） = r（A, p） n （ n为未知数的个数或维数）4向量组的线性相关性1. m个n维列向量所组成的向量组A : a ,a，,a构成nxm矩阵A = （a ,a，,a ）;12m12m邙T ）1m个n维行向量所组成的向量组B : pt, pt，,pt构成m xn矩阵B = P.T ；12m:p丿 m含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. 、向量组的线性相关、无关 oAx = 0有、无非零解；（齐次线性方程组）v 2112222nn2、向量的线性表出o Ax = b是否有解；（线性方程组） 、向量组的相互线性表示o AX =
12、 B是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵a与B行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax = 0和Bx = 0同解；（P例14）mxnl xn1014. r（ATA） = r；（P 例 15）1015. n维向量线性相关的几何意义： 、a线性相关oa= 0 ； 、a,卩线性相关 oa,卩坐标成比例或共线（平行）； 、a,p,y线性相关oa,p,y共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若a ,a，,a线性相关，则a ,a， ,a ,a必线性相关；1 2s1 2s s +1若a,a,a线性无关，则a ,a ,.,a必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）1 2s1 2s-1若r维向量组A的每个
13、向量上添上n -r个分量，构成n维向量组B :若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加 加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为r）能由向量组B （个数为s）线性表示，且A线性无关，则r s匚版P74定理7）；向量组A能由向量组B线性表示，则r（A） r（B） ； （ P定理3）86向量组A能由向量组B线性表示o AX = B有解；o r=r（A,B） （ P 定理 2）85向量组A能由向量组B等价or（A） = r（B） = r（A,B） （ P定理2推论）858. 方阵A可逆o存在有限个初等矩阵P,P，,P，使A = PPP ；12l1 2 l 、矩阵行等价：AB o PA = B （左乘，P可逆）o Ax = 0与Bx = 0同解 、矩阵列等价：AB o AQ =
