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1、高中数学第二章平面向量2.6平面向量数量积的坐标表示例题与探究（含解析）北师大版必修42.6 平面向量数量积的坐标表示典题精讲例1湖北高考卷，理1)已知向量a=（,1），b是不平行于x轴的单位向量，且ab=，则b等于（ ）A.（,） B.（, ） C.（） D.(1,0)思路解析：方法一（待定系数法）：设b=(x,y)(xy)，则依题意有解得方法二（代入验证法）：将四个选项逐一验证，仅有选项B符合题意.答案：B绿色通道： 已知向量的坐标时，通常利用向量数量积的坐标表示来解决有关向量问题.变式训练1已知|a|=,b=(-2,3),且ab，则a的坐标为_.思路解析：利用向量的长度公式和垂直的条件列
2、出关于向量ab的坐标的方程，然后求解.设a=(x,y)，则x2+y2=52.由ab得-2x+3y=0.由以上两个条件得答案：(6，4)或(-6，-4)变式训练2已知向量a与b同向，b=(1,2),ab=10.(1)求向量a的坐标；(2)若c=(2,-1)，求(bc)a.思路分析：由向量a与b同向可得a=b，且0.解：(1)向量a与b同向，b=（1，2），a=b=（，2）.又ab=10，有+4=10.解得=20.符合向量a与b同向的条件,a=（2，4）.(2)bc=12+2(-1)=0,(bc)a=0.例2(湖北高考卷，理19)如图2-6-2，在RtABC中，已知BC=a，若长为2a的线段以点A
3、为中点，问与的夹角取何值时，的值最大？并求出这个最大值.图2-6-2思路分析：可以用分解向量法和建立直角坐标系法解决.解法一（基向量法）：，=0.=-,=-,=-,=(-)(-)=-+=-a2-+=-a2+(-)=-a2+=-a2+a2cos.故当cos=1即=0(与方向相同)时, 最大,其最大值为0.解法二（坐标法）：以A为原点，以AB所在直线为x轴建立如图2-6-3所示的平面直角坐标系.设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a.设点P的坐标为（x,y）,则Q（-x,-y）.图2-6-3=(x-c,y), =(-x,-y-b),
4、 =(-c,b), =(-2x,-2y).=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.cos=cx-by=a2cos.=-a2+a2cos.故当cos=1,即=0,(与方向相同)时,最大,其最大值为0.绿色通道 解决向量问题的两种方法：基向量法：选择不共线（最好垂直）的两个向量为平面向量基底，其他向量均用基底表示，将问题转化为向量的分解及其有关运算或其他问题；坐标法：选择互相垂直的两个向量的基线为坐标轴，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算解决向量的有关问题.变式训练1如图2-6-4，正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中点，试求cos,的值.思路分析
5、：最优解法坐标法.解法一（坐标法）：如图2-6-4所示.图2-6-4以OA和OC分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则有A=(1,0)，C=(0,1),B=(1,1)，=（1，），OE=（，1），故cosDOE=.解法二(基向量法)：以和为基向量建立平面向量基底.设=a,=b，则有|a|=|b|=1，a,b=，ab=0.=+=+=+=a+b，+=+=a+b.|=，|2=,=(a+b)(a+b)=a2+abb2=1.cosDOE=.变式训练2已知a,b是两个非零向量，同时满足|a|=|b|=|a-b|，求a与a+b的夹角.思路分析：可以由条件求出a(a+b)及|a+b|代入夹角公式.也可以运用向
6、量加法的几何意义，构造平行四边形求解.解法一：根据|a|=|b|，有|a|2=|b|2，又由|b|=|a-b|，得|b|2=|a|2-2ab+|b|2，ab=|a|2.而|a+b|2=|a|2+2ab+|b|2=3|a|2,|a+b|=|a|.设a与a+b的夹角为，则cos=，=30.解法二：设向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，|a|=|b|，x12+y12=x22+y22.由|b|=|a-b|，得x1x2+y1y2=(x12+y12)，即ab=(x12+y12).由|a+b|2=2(x12+y12)+2 (x12+y12)=3(x12+y12)得|a+b|=(x12+y12).设a
7、与a+b的夹角为，则cos=，=30.解法三：在平面内任取一点O，作=a，=b，以，为邻边作平行四边形.|a|=|b|，即|=|.OACB为菱形，OC平分AOB，这时=a+b，=a-b.而|a|=|b|=|a-b|，即|=|=|.AOB为正三角形，则AOB=60，于是AOC=30，即a与a+b的夹角为30.问题探究 问题在直角坐标系中，将单位向量旋转90到向量的位置，这两个向量有何关系？这两个向量的坐标之间有什么特殊联系？这种联系有什么作用？导思：探究方法：画图，结合图形观察，通过归纳、猜想、证明得到它们之间的关系.探究：如图2-6-5所示，在单位圆中，设=(a1,a2)，=(x,y)，图2-
8、6-5，且|=|=1，有整理得或即当按逆时针方向旋转90时，=(-a2,a1)，当按顺时针方向旋转90时，=(a2,-a1).也就是把原向量的横、纵坐标交换，并在其中一个前添加负号.这一结论可以证明三角函数的诱导公式.例如：求证：cos(+90)=-sin,sin(+90)=cos.证明：设的终边与单位圆交于点A，则A(cos,sin)，所以=(cos,sin).|=1，即是单位向量.当按逆时针方向旋转90后到，则点B(cos(+90),sin(+90)，由结论可得B(-sin,cos).(cos(+90),sin(+90)=(-sin,cos).cos(+90)=-sin，sin(+90)=cos.1
