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1、全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上（1）若函数在连续，则(A) (B) (C) (D) 【答案】A【详解】由,得. （2）设函数可导，且则(A) (B) (C) (D) .【答案】C【详解】,从而单调递增,.（3）函数在点处沿着向量的方向导数为(A) (B) (C) (D) 【答案】D【详解】方向余弦,偏导数,代入即可.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线(单位：m/
2、s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则(A) (B) (C) (D) 【答案】C【详解】在时,乙比甲多跑m,而最开始的时候甲在乙前方m处.（5）设为维单位列向量，为阶单位矩阵，则(A) 不可逆(B) 不可逆(C) 不可逆(D) 不可逆【答案】A【详解】可设,则的特征值为,从而的特征值为,因此不可逆.（6）设有矩阵， (A)与相似，与相似(B) 与相似，与不相似(C) 与不相似，与相似(D) 与不相似，与不相似【答案】B【详解】的特征值为,但有三个线性无关的特征向量,而只有两个,所以可对角化, 则不行.（7）设为随机事件，若，则的充分必要条
3、件(A) (B) (C) (D) 【答案】A【详解】由得,即;由也可得.（8）设为来自总体的简单随机样本，记，则下列结论不正确的是(A)服从分布 (B) 服从分布(C) 服从分布(D) 服从分布【答案】B【详解】;. 二、填空题：914小题，每小题4分，共24分请将答案写在答题纸指定位置上（9）已知函数 【答案】0【详解】,没有三次项.（10）微分方程的通解为 【答案】【详解】特征方程得,因此.（11）若曲线积分在区域内与路径无关，则 【答案】【详解】有题意可得,解得.（12）幂级数在(-1,1)内的和函数 【答案】 【详解】.（13），是3维线性无关的列向量，则的秩为 【答案】2【详解】（1
4、4）设随即变量的分布函数，其中为标准正态分布函数，则 【答案】2【详解】.三、解答题：1523小题，共94分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将答案写在答题纸指定位置上（15）（本题满分10分）设函数具有2阶连续偏导数，求.【答案】 （16）（本题满分10分）求.【答案】（17）（本题满分10分）已知函数由方程确定，求的极值. 【答案】， 方程两边对求导得：， 令，得. 当时，当时. 方程两边再对求导：， 令， 当，时，当，时. 所以当时函数有极大值，极大值为1，当时函数有极小值，极小值为0.（18）（本题满分10分）设函数在区间上具有2阶导数，且，.证明：（I）方程在区间内至少存在一个
5、实根;（II）方程在区间内至少存在两个不同实根.【答案】(1)，由极限的局部保号性，又由零点存在定理知，使得，.(2)构造，由拉格朗日中值定理知，所以由零点定理知，使得， 所以原方程至少有两个不同实根。（19）（本题满分10分）设薄片型物体是圆锥面被割下的有限部分，其上任意一点处的密度为，记圆锥面与柱面的交线为C；（I）求C在平面上的投影曲线的方程；（II）求S的质量M。【答案】(1)的方程为，投影到平面的方程为：（20）(本题满分11分)设矩阵有3个不同的特征值，（I）证明：;（II）若，求方程组的解.【答案】又有三个不同的特征值，故为单根，且一定能相似对角化.（2） 由（1），的通解为，故
6、有.（21）（本题满分11分）设二次型在正交变换 下的标准形为，求的值及一个正交矩阵。（21） 【答案】二次型的矩阵，因为二次型在正交变换下的标准形为，故有特征值0，故.由得特征值为.解齐次线性方程组，求特征向量.对，,得；对，,得；对，,得；因为属于不同特征值，已经正交，只需规范化：令，所求正交矩阵为,对应标准形为.（22）（本题满分11分）设随机变量与相互独立，且的概率分布为，的概率密度为（I）求（II）求的概率密度。22、 【答案】（1），.（2） 的分布函数为故的概率密度函数为.（23）（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量是已知
7、的.设n次测量结果相互独立且均服从正态分布.该工程师记录的是n次测量的绝对误差.利用估计.（I）求的概率密度；（II）利用一阶矩求的矩估计量；（III）求的最大似然估计量.【答案】的分布函数为，所以的概率密度均为.（2） ，令，即，得的矩估计量为：，其中.（3）记的观测值为，当时，似然函数为，令.精品 Word 可修改 欢迎下载 亲爱的用户：烟雨江南，画屏如展。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，感谢你的阅读。1、最困难的事就是认识自己。21.3.273.27.202109:5509:55:20Mar-2109:552、自知之明是最难得的知识。二
8、二一年三月二十七日2021年3月27日星期六3、越是无能的人，越喜欢挑剔别人。09:553.27.202109:553.27.202109:5509:55:203.27.202109:553.27.20214、与肝胆人共事，无字句处读书。3.27.20213.27.202109:5509:5509:55:2009:55:205、三军可夺帅也。Saturday, March 27, 2021March 21Saturday, March 27, 20213/27/20216、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。9时55分9时55分27-Mar-213.27.20217、人生就是学校。21.3.2721.3.2721.3.27。2021年3月27日星期六二二一年三月二十七日8、你让爱生命吗，那么不要浪费时间。09:5509:55:203.27.2021Saturday, March 27, 2021
