河北省2019年中考数学复习二次函数第16讲二次函数的解析式试题含解析

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1、第16讲二次函数的解析式1. (2012,河北)如图,抛物线y1a(x2)23与y2(x3)21交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C.以下结论:无论x取何值,y2的值总是正数;a1;当x0时,y2y14;2AB3AC.其中正确结论是(D)第1题图A. B. C. D. 【解析】 抛物线y2(x3)21的开口向上,顶点在x轴的上方,无论x取何值,y2的值总是正数故此结论正确把A(1,3)的坐标代入y1a(x2)23,得3a(12)23.解得a.故此结论错误可知抛物线y1a(x2)23的解析式为y1(x2)23.当x0时,y1(02)23,y2(03)21.故y2y

2、1.故此结论错误抛物线y1a(x2)23与y2(x3)21交于点A(1,3),y1的对称轴为x2,y2的对称轴为x3.B(5,3),C(5,3)AB6,AC4.2AB3AC.故此结论正确2. (2015,河北节选)如图,已知点O(0,0),A(5,0),B(2,1),抛物线l:y(xh)21(h为常数)与y轴的交点为C.(1)l经过点B,求它的解析式,并写出此时l的对称轴及顶点坐标;(2)设点C的纵坐标为yC,求yC的最大值,此时l上有两点(x1,y1),(x2,y2),其中x1x20,比较y1与y2的大小第2题图【思路分析】 (1)把点B的坐标代入抛物线的解析式,得出关于h的方程,求得h的值

3、利用抛物线解析式得到它的对称轴和顶点坐标(2)把点C的横坐标代入抛物线的解析式得到yCh21,则由二次函数的最值的求法易得yC的最大值,并可以求得此时抛物线的解析式,根据函数的增减性来比较y1与y2的大小解:(1)把点B(2,1)的坐标代入y(xh)21,得1(2h)21.解得h2.所以该抛物线的解析式为y(x2)21(或yx24x3)所以抛物线l的对称轴为x2,顶点坐标是(2,1)(2)点C的横坐标为0,yCh21.当h0时,yC有最大值,最大值为1.所以此时抛物线l的解析式为yx21,对称轴为y轴,开口方向向下当x0时,y随x的增大而减小x1x20,y1y2.求二次函数的解析式例1(201

4、8,徐州,导学号5892921)已知二次函数的图象以A(1,4)为顶点,且过点B(2,5)(1)求该函数的解析式;(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标;(3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A,B两点随图象移至点A,B,求OAB的面积【思路分析】 (1)已知抛物线的顶点坐标,可设该二次函数的解析式为顶点式,然后将点B的坐标代入,即可求出二次函数的解析式(2)根据函数解析式,令x0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y0,可求得抛物线与x轴的交点坐标(3)由(2)可知抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位长度,由此可求出点A,B

5、的坐标可用割补法求出OAB的面积解:(1)设该函数的解析式为ya(x1)24.将B(2,5)的坐标代入,得5a(21)24.解得a1.该函数的解析式为y(x1)24x22x3.(2)令x0,得y3.所以与y轴的交点坐标为(0,3)令y0,得x22x30,解得x13,x21.所以与x轴的交点坐标为(3,0),(1,0) (3)设该函数图象与x轴的交点为M,N(点M在点N的左侧)由(2)知M(3,0),N(1,0)当函数图象向右平移经过原点时,点M与点O重合,该函数图象向右平移了3个单位长度A(2,4),B(5,5),如答图SOAB(25)(45)245515.例1答图针对训练1(2018,荆门京

6、山模拟)一条抛物线和抛物线y2x2的形状、开口方向完全相同,顶点坐标是(1,3),则该抛物线的解析式为(B)A. y2(x1)23 B. y2(x1)23C. y(2x1)23 D. y(2x1)23【解析】 根据题意可知该抛物线的解析式为y2(x1)23.针对训练2(2017,百色)经过A(4,0),B(2,0),C(0,3)三点的抛物线的解析式是 (yx2x3) .【解析】 设该抛物线的解析式为ya(x2)(x4)把C(0,3)的坐标代入,得8a3.解得a.该抛物线的解析式为y(x2)(x4)x2x3.二次函数图象与系数a,b,c的特殊关系例2(2018,抚顺一模)抛物线y1ax2bxc与

7、直线y2mxn如图所示下列结论:abc0;abc0;5ac0;当x或x6时,y1y2.其中正确结论的序号是 .例2题图【解析】 由题意,得a0,b0,c0.abc0.故正确观察图象,可知当x1时,y10,abc0.故正确3,b6a.当x5时,y0,且对称轴为x3,当x1时,y0.abc0.5ac0,即5ac0.故正确观察图象,可知当x或x6时,y1y2.故正确.针对训练3(2018,泸州泸县一模)如图,抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为x1,与x轴的一个交点坐标为(1,0),其部分图象如图所示下列结论:4acb2;方程ax2bxc0的两个根是x11,x23;3ac0;当y0时,x的取值范围

8、是1x3;当x0时,y随x的增大而增大其中结论正确的是 .(填序号)训练3题图【解析】 抛物线与x轴有2个交点,b24ac0.所以正确抛物线的对称轴为x1,点(1,0)关于直线x1的对称点的坐标为(3,0)方程ax2bxc0的两个根是x11,x23.所以正确x1,b2a.当x1时,y0,abc0.3ac0.所以错误抛物线与x轴的交点坐标为(1,0),(3,0),当1x3时,y0.所以错误抛物线的对称轴为x1,当x1时,y随x的增大而增大所以正确.针对训练4(2018,芜湖繁昌县模拟)二次函数yax2bxc(a,b,c为常数,且a0)中的x与y的部分对应值如下表:x1013y1353下列结论:a

9、c0;当x1时,y随x的增大而减小;当x2时,y5;x3是方程ax2(b1)xc0的一个根其中正确的是 .(填序号) 【解析】 将(1,1),(0,3),(1,5)代入yax2bxc,得解得二次函数的解析式为yx23x3.ac1330,该结论正确yx23x3,当x时,y随x的增大而减小该结论错误当x2时,y223235,该结论正确ax2(b1)xcx22x30,解得x3或x1.x3是方程ax2(b1)xc0的一个根该结论正确一、 选择题1. (2018,北京顺义区模拟)二次函数的部分图象如图所示,对称轴是x1,则这个二次函数的解析式为(D)第1题图A. yx22x3 B. yx22x3C. y

10、x22x3 D . yx22x3【解析】 因为抛物线的对称轴为x1,所以设这个二次函数的解析式为ya(x1)2k.将(3,0),(0,3)代入,得解得所以这个二次函数的解析式为y(x1)24x22x3.2. (2018,合肥包河区二模)已知二次函数yax2bx的图象经过点A(1,1),则ab有(D)A. 最大值1 B. 最大值2C. 最小值0 D. 最小值【解析】 把点A(1,1)的坐标代入yax2bx,得ab1.ba1.aba(a1)a2a.ab有最小值.3. (2018,南京玄武区一模)已知二次函数yx25xm的图象与x轴有两个交点若其中一个交点的坐标为(1,0),则另一个交点的坐标为(B

11、)A. (1,0) B. (4,0) C. (5,0) D. (6,0)【解析】 二次函数yx25xm的图象的对称轴为x.该二次函数的图象与x轴的一个交点的坐标为(1,0),另一个交点的坐标为,即(4,0)4. (2018,枣庄)如图所示的是二次函数yax2bxc图象的一部分,且过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是x1.下列结论正确的是(D)第4题图A. b24ac B. ac0 C. 2ab0 D. abc0【解析】 A. 抛物线与x轴有两个交点,b24ac0,即b24ac.所以此选项错误B. 抛物线的开口向上,a0.抛物线与y轴的交点在x轴的下方,c0.ac0.所以此选项错误C. 二次

12、函数图象的对称轴是x1,1.2ab0.所以此选项错误D. 抛物线过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是x1,抛物线与x轴的另一个交点为(1,0)abc0.所以此选项正确5. (2018,滨州)如图,若二次函数yax2bxc(a0)的图象的对称轴为x1,与y轴交于点C,与x轴交于点A,B(1,0),则二次函数的最大值为abc;abc0;b24ac0;当y0时,1x3.其中正确的个数是(B)第5题图A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【解析】 二次函数yax2bxc(a0)的图象的对称轴为x1,且开口向下,当x1时,y最大abc,即二次函数的最大值为abc.故该结论正确图象过点B(1,0),当x1时,abc0.故该结论错误图象与x轴有2个交点,故b24ac0.故该结论错误图象的对称轴为x1,与x轴交于点A,B(1,0),A(3,0)故当y0时,1x3.故该结论正确6. (2018,莱芜)若函数yax22axm(a0)的图象过点(2,0),则使函数值y0成立的x的取值范围是(A)A. x4或x2 B. 4x2C. x0或x2 D. 0x2【解析】 抛物线yax22axm的对称轴为x1,抛物线与x轴的一个交点坐标为(2,0),抛物线与x轴的另一个交点坐标为(4,0)a0,抛物线的开口向下当x4或x2时,y0.7. (2018,白银)如图所示的是二次函数y

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