《第三章 中值定理与导数的应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第三章 中值定理与导数的应用（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章中值定理与导数的应用教学目的：1、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌 握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。3、会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和 斜渐近线，会描绘函数的图形。4、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。5、知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。6、知道方程近似解的二分法及切线性。教学重点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；2、函数的极值，判断函数的单调性和求函数极值的方法；3、函数图形的凹凸性；4、洛必达法则。教学难点：1、
2、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；2、极值的判断方法；3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；4、洛必达法则的灵活运用。3. 1中值定理一、罗尔定理费马引理设函数治)在点的某邻域U(x0)内有定义，并且在x0处可导，如果对任意xeU(x0),有 川)鸵0)(或 f(x)f(x0),那么 f(x0)=0.罗尔定理 如果函数y=fx)在闭区间, b上连续，在开区间(a,b)内可导，且有f(a)=f(b), 那么在(a,b)内至少在一点&,使得f(&)=0.简要证明：(1)如果f(x)是常函数，则f(x)三0,定理的结论显然成立.(2)如果f(x)不是常函数，则人)在(a, b)内至少有一个最大值点或最小
3、值点，不妨设有一 最大值点&e(a, b).于是所以 f，(x)=0.罗尔定理的几何意义：二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在闭区间a, b上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在 (a, b)内至少有一点&(a&b),使得等式f(b)-f(a)=f &)(b-a) 成立.拉格朗日中值定理的几何意义：f (b)- f (a)f (&)= b f , 定理的证明：引进辅函数f (b)-f (a)令顿x)=fx)-f(a)- ba (x-a).容易验证函数f(x)适合罗尔定理的条件：顿a)M(b)=0,顿x)在闭区间a, b上连续在开区间(a, b)内可导，且f(b)-f (。
4、) 中(x)=f (x)-b-a.根据罗尔定理，可知在开区间(a,b)内至少有一点&,使园(&)=0,即f (b) - f (a)f (&)-b - a=0.f (b) - f (a)由此得b-a= f (&),即f(b)-f(a)=f ()(b-a).定理证毕.f(b)-f(a)=f()(b-a)叫做拉格朗日中值公式.这个公式对于b0或Ax0)或x+Ax, x (Ax0)应用拉格朗日中值公式，得f(x+Ax)-f(x)=f (x+OAx) - Ax (001).如果记f(x)为y,则上式又可写为Ay=f (x+OAx) - Ax (0O1).试与微分dy=f(x) - Ax比较:dy =f
5、(x) - Ax是函数增量Ay的近似表达式，而 f(x+OAx) - Ax是函数增量Ay的精确表达式.作为拉格朗日中值定理的应用，我们证明如下定理：定理 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数.证 在区间I上任取两点x1, x2(x1x2),应用拉格朗日中值定理，就得 f(x2)-f(x1)=f (&)(x2 - x1) 3& x2).由假定，f (&)=0,所以 f(x2)-f(x1)=0,即f(x2)=f(x1).因为x1，x2是I上任意两点，所以上面的等式表明:f(x)在I上的函数值总是相等的，这就是说 ,f(x)在区间I上是一个常数. ln(1+x)
6、0时，1+x.证 设f(x)=ln(1+x),显然f(x)在区间0, x上满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理， 就有f(x)-f(0)=f (&)(x-0), 0&x。f(x)=由于f(0)=0,1+x ,因此上式即为又由0&x,有三、柯西中值定理设曲线弧C由参数方程f X = F (x) 1 7 HY = f (x)(axb)表示，其中x为参数.如果曲线C上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线，那么在曲线C 上必有一点x=&,使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB,曲线C上点x=&处的 切线的斜率为 弦AB的斜率为 于是柯西中值定理 如果函数f(x)及F(x)在闭区间a, b上连续，在
7、开区间(a,b)内可导，且F (x)在(a,b)内的每一点处均不为零，那么在(a,b)内至少有一点&,使等式 成立.显然，如果取F(x)=x,那么F(b)-F(a)=b-a, F (x)=1,因而柯西中值公式就可以写成： f(b)-f(a)=f (&)(b-a) (a&b),这样就变成了拉格朗日中值公式了.3. 3泰勒公式对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达.由于 用多项式表示的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算便能求出它的函数值, 因此我们经常用多项式来近似表达函数.在微分的应用中已经知道，当E很小时，有如下的近似等式：ex*1+x，ln(1+x
8、) x.这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子.但是这种近似表达式还存在着不足之处：首 先是精确度不高，这所产生的误差仅是关于x的高阶无穷小；其次是用它来作近似计算时, 不能具体估算出误差大小.因此，对于精确度要求较高且需要估计误差时候，就必须用高次 多项式来近似表达函数，同时给出误差公式.设函数您0在含有x0的开区间内具有直到(+1)阶导数，现在我们希望做的是：找出一个关于(x-x0 )的n次多项式P n(X)=a 0+a 1(XX0 )+ a 2(XX0 ) 2+ - + an f ) 来近似表达f(x)，要求p (x)与fx)之差是比(x-x0 ) n高阶的无穷小，并给出误差I f-p
9、 ( x)l 的具体表达式.我们自然希望pn(x)与fx)在x0的各阶导数(直到(n+1)阶导数)相等，这样就有P n(x)=a 0+a 1(x-x0 )+ a 2(x-x0 ) 2+- + an f ) ，P n(x)=。1+2 a 2(x-x0 ) +- +nan (x-x0 )心，P n(x)= 2 a 2 + 3-2a 3(x-x0 ) + + n (n-1)a n (x-x0 )n-2，pn(x)= 3!a 3 +4-3-2a 4(x-x0 ) + + n (n-1)(n-2)an(x-x0 )n-3，Pn(n)(x)=n! an -于是Pn(x0)=a 0，Pn (x0 )= a
10、1，Pn (x0 )= 2! a2，Pn =3!a 3， ，Pn(n)(x)=n! an.按要求有f(x0)=Pn(x0) =a0,f (x0)= Pn (x0)= a 1，f (x0)= Pn (x0)= 2! a 2，f(*= Pn (x0)= 3!a 3， f (n)(x0)= Pn(n)(x0)=n! an.a =1 f (x ) a =1 f(x ) a =1 f (n)(x )2 2!0， ， 3 3! J 0,，n n!0“k妇 f 仇)(*。)(上=0, 1，2, ，n).从而有a 0=fx0)，a 1=f(x0)，于是就有+ 4 f(x )+4 f (n)(x )Pn(x)=
11、 f(x0)+ f (x0) (x-x0) 2!0 (x-x0) 2 +n!0 (x-x0)n .n泰勒中值定理如果函数fx)在含有x0的某个开区间(a, b)内具有直到(n+1)的阶导数, 则当x在(a,b)内时,fx)可以表示为(x-x0 )的一个n次多项式与一个余项Rn(x)之和： 其中Rn (x)=品正(x 一)+1介于x0与x之间).这里多项式称为函数fx)按(x-x0)的幂展开的n次近似多项式，公式称为fx)按(x-x0 )的幂展开的n阶泰勒公式，而人3)的表达式R 小f (n+D (&)/、一其中n(n+1)!(&介于X与x0之间).称为拉格朗日型余项.当n=0时，泰勒公式变成拉
12、格朗日中值公式：f(x)=f(x )+f (&)(x-x0)(&在 x 与 x 之间).因此，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.如果对于某个固定的n,当x在区间(a, b)内变动时，f (n+i)(x)l总不超过一个常数M,贝有 估计式：Rlim=0及。一岛).可见，妆x x0时，误差Rn(x)l是比(x-x0)n高阶的无穷小，即Rn (x)=o(x-x0)n.在不需要余项的精确表达式时,n阶泰勒公式也可写成当x0 =0时的泰勒公式称为麦克劳林公式，就是f (x) = f (0) + f(0)x + f0) x 2 + f (n)(0) xn + o(xn )2!n!,R (x)=尊 xn
13、+1其中 n(n+1)!.由此得近似公式：误差估计式变为：例1.写出函数f(x)=ex的n阶麦克劳林公式.解：因为 f(x)=f (x)=f (x)= - =f (n)(x)=ex,所以 f(0)=f (0)f (0)= - =f ( n)(0)=1 ,ex =1 + x + 4x2 +1 xn + , e气、.xn+1于是2! n!(n+1)!(0ei),ex 1 + X +1X2 HF1 Xn并有2! n!这时所产性的误差为eQveixilRn(x)l=l (n+1)! xn+1| (n+1)!| x l n+1.当x=1时，可得e的近似式:ex 1+1+2!n!.0(y=f (x)0).由此可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的关系.反过来，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？定理1(函数单调性的判定法)设函数y=fx)在o,b上连续，在(a,b)内可
