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1、相似三角形本章总结1、知识结构：2、解题方法点拨：1、已知，求。点拨：这类比例式的求解题，往往有两种解法，由已知，可令，从而，。将化成，。例、已知，求。解答：，15106。2、等积式或比例式的证明。点拨：等积式的证明往往利用等式的性质转换为比例式，而比例式的证明则常常利用相似三角形的性质来证明，要证明某个比例式，只要证明了比例式中的线段所在的两个三角形相似，即可达到证明目的。例1、如图，直线EF交AB、AC于点F、E，交BC延长线于点D，ACBC，已知：ABCD=DEAC。求证：AECEDEEF。分析：把结论的等积式化为比例式：，纵看，构成AED与FEC，图中没有现成的三角形，若连结AD与CF
2、构造这两个三角形，这一想法可以放到第二步再考虑；再横看，构成AEF与DEC，证相似的条件较明显，故选择证AEFDEC。解答：ACBC，ACBDCE=90又ABCDDEACABCDECAD，又12AEFDEC，即AECEDEEF。例2、如图，直角三角形ABC（A90）中，B的平分线与AC相交于点D，过点A、D分别向BC引垂线，垂足分别为H、K。求证：BKBHBC分析：由结论发现所证等积式中的三条线段在同一直线上，直接证是不可能的，需找相等的线段替换。而条件中的角平分线是一很好的条件，可利用角的轴对称性实现线段的转移，从而构造三角形相似。解答：BD平分ABC，易证：BKAB，又AHBC，AHBBA
3、C90，又ABH为公共角，ABHCBA，即BABHBC，BKBHBC。例、如图，在ABC中，A90，ADBC于D，E为边AC的中点，过点D、E作直线交AB的延长线于点F。求证：ACDFAFAB。分析：把等积式改写为比例式：，纵看可得ACB与FAD，ACB为直角三角形，FAD为钝角三角形，不可能相似。必须找一中间比过渡，条件中有直角三角形斜边上的高，很自然想到母子相似，故引出中间比，从而希望，引出证BFD与DFA相似。解答：A90，ADBC，RtABDRtCAD，又E为AC中点，ADBC，2134，又F为公共角，BFDDFA ，ACDFAFAB。3、高度的测量。点拨：根据相似形的知识，利用一些有
4、限的工具，就可以测量出我们身边的常见物体，例如大树、高楼、旗杆等的高度。 （1）小明同学在学习了相似三角形的知识后，就想利用树影测量树高，但这棵树离楼房太近，影子不全落在地上，有一部分影子落在墙上，如图，在某时刻测留在墙上的影长为1.2m，测得地面影长2.7m，巧的是他拿的竹竿的长也是1.2m，竹竿的影长1.08m，你知道小明是怎样求树高AB的吗？你知道结果是多少吗？分析：在同一时刻，光线可以看作一组平行线，所以每一个物体和它的影子所组成的三角形都是相似三角形，利用相似三角形的性质，可以求出所求物体的高度。解答：竹竿的长是1.2m，竹竿的影长1.08m，所以物体的高度与影长之比为，又大树留在墙
5、上的影长为1.2m，测得地面影长2.7m，大树落在地面上的影子长应为2.71.23.9m，设大树的高度为x，则有，解得m。（2）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走2米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（ ）。A4.5米 B6米 C7.2米 D8米解答：设路灯A的高度为x米，则由图可得：，解得x4.5米，选A。本章测试一、选择题（每小题3分，共30分）1.在比例尺为1:5000的地图上,量得甲,乙两地的距离25cm,则甲,乙的实际距离是( )A.1250km B.125km C.12.5km D.1.25k
6、m2.已知,则的值为 ( )A. B. C.2 D.3.已知ABC的三边长分别为,2,ABC的两边长分别是1和,如果ABC与ABC相似,那么ABC的第三边长应该是( )A. B. C. D.4.在相同时刻，物高与影长成正比。如果高为1.5米的标杆影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高为( ) A 20米B 18米C 16米D 15米5.如图1,ACB=ADC=90,BC=a,AC=b,AB=c,要使ABCCAD,只要CD等于( )A. B. C. D.6.一个钢筋三角架三边长分别为20cm,50cm,60cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30cm和50cm的两根钢筋,要求以
7、其中的一根为一边,从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边,则不同的截法有( )A.一种 B.两种 C.三种 D.四种7、用位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心的位置可以选在( ) A 原图形的外部B 原图形的内部C 原图形的边上 D 任意位置8、如图2，ABCD中，EFAB，DEEA = 23，EF = 4，则CD的长（ ）A B8 C10 D16 图3图1图29、如图3，一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角，窗户的高在教室地面上的影长MN=米，窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米（点M、N、C在同一直线上），则窗户的高AB为 ( )A米B米C2
8、米D1.5米10、某校计划在一块三角形的空地上修建一个面积最大的正方形水池，使得水池的一边在ABC的边BC上，ABC中边BC=60m，高AD=30m，则水池的边长应为( ) A 10mB 20mC 30mD 40m二填空题：（每小题3分，共30分）11、已知,则。12、（2006年锦州市）点P是ABC中AB边上的一点，过点P作直线(不与直线AB重合)截ABC，使截得的三角形与ABC相似.满足这样条件的直线最多有_条。13、把一矩形纸片对折,如果对折后的矩形与原矩形相似,则原矩形纸片的长与宽之比为 。图414、如图4,ABC中,D,E分别是AB,AC上的点(DEBC)，当 或 或 时，ADE与A
9、BC相似。15、在ABC中，B25，AD是BC边上的高，并且，则BCA的度数为_。16、如图5，小伟在打网球时，击球点距离球网的水平距离是8米，已知网高是0.8米，要使球恰好能打过网，且落在离网4米的位置，则球拍击球的高度h为 米。图617、如图6，在ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，那么ADE与四边形DBCE的面积之比是 。图8图7图518、大矩形的周长是与它位似的小矩形的2倍,小矩形的面积是5cm2,大矩形的长为5cm,则大矩形的宽为 cm。19、斜拉桥是利用一组组钢索，把桥面重力传递到耸立在两侧高塔上的桥梁，它不需要建造桥墩，（如图7所示），其中A1B1、A2B2、A3B3、A4B
10、4是斜拉桥上互相平行的钢索，若最长的钢索A1B180m，最短的钢索A4B420m，那么钢索A2B2= m，A3B3= m。20、已知ABC周长为1，连结ABC三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边中点构成第三个三角形，（如图8所示），以此类推，第2006个三角形的周长为 。三解答题(共40分)21.(6分)在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，请你在如图所示的44的方格纸中,画出两个相似但不全等的格点三角形(要求:所画三角形为钝角三角形,标明字母,并说明理由)。22.、（6分）如图,测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为10cm，AC被分为60等
11、份.如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处，且DEAB，那么小玻璃管口径DE是多大?23、（9分）如图, 等边ABC，点D、E分别在BC、AC上,且BD=CE，AD与BE相交于点F，(1)试说明ABDBCE. (2)AEF与ABE相似吗?说说你的理由.(3)BD2=ADDF吗?请说明理由。 25、（9分）（2006年苏州市）如图，梯形ABCD中ABCD且AB=2CD，E,F分别是AB，BC的中点。EF与BD相交于点M。(1)求证：EDMFBM；(2)若DB=9，求BM。26、（10）（2006年浙江省）如图,平面直角坐标系中,直线AB与轴,轴分别交于A(3,0),B(0,)两点, ,点C为
12、线段AB上的一动点,过点C作CD轴于点D.(1)求直线AB的解析式；(2)若S梯形OBCD,求点C的坐标；(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与OBA相似.若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由。第24章单元综合测试答案1、D2、B3、A4、B5、A6、B7、D8、C9、C10、B11、1/412、413、14、B=AED，C=ADE，15、65 16、2.4米 17、1：318、419、60，4020、1/22005 21、略22、20/3解析：23、解析：(1)根据SAS判定, （2）相似，由(1)易得ABE=EAF, (3) 根据ABDBF
13、D，25、（1）解析：四边形BCDE是平行四边形（2）3，解析：。26、（1）直线AB解析式为：y=x+。（2）方法一：设点坐标为（x，x+），那么ODx，CDx+，由题意： ，解得（舍去），（，），方法二：,，由OA=OB，得BAO30，AD=CD，CDAD。可得CD，AD=，OD，C（，）。（）当OBPRt时，如图1 若BOPOBA，则BOPBAO=30，BP=OB=3，（3，）。若BPOOBA，则BPOBAO=30,OP=OB=1，（1，）。当OPBRt时 过点P作OPBC于点P(如图2)，此时PBOOBA，BOPBAO30过点P作PMOA于点M。方法一： 在RtPBO中，BPOB，OPBP， 在RtPO中，OPM30， OMOP；PMOM（，）方法二：设（x ，x+），得OMx ，PMx+由BOPBAO,得POMABOtanPOM= ，tanABOC=x+x，解得x此时，（，）若POB
