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1、高考圆锥曲线定点定值技巧一、定点、定值、定形问题中的两种常用方法 1“特殊”探求例1已知直线过点且与抛物线交于、两点，求证：，均为定值，并求这个定值解：特殊位置的探讨：如图1，当过点的直线与垂直时，； 一般性的证明：如图2，当过点的直线与垂直时，设过点的直线方程为：【“基本特征式”的运算】 由 小结：定点、定值、定形问题的求解，先“特殊”探求，再证明一般的情况； “特殊”是指：特殊点、特殊位置、特殊直线、极端位置(空间图形的平面轨迹)、极限位置、特殊值、特殊图形(如：三棱锥正四面体)、初始值(如数列问题，首先用、求出满足条件的参数，再证明一般的情况)； 华罗庚教授反复强调：“退，退，退到原始状
2、态，退到最简单的位置”，即“特殊”探路； 直线与轴垂直，是很“容易遗忘”的失分参数有了“特殊”探路的解题意识，相反能提高警惕，提高得分能力； 相关结论：当直线过焦点时，；当直线过点时，；例2（09、辽宁）已知椭圆：是椭圆上的两个动点，点是椭圆上的一个定点如果直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值解：“特殊”探讨：取点(即右顶点)直线的方程：由一般性的证明：设过点的直线方程为：由 设方程的两根为、，则 分别用“”“”替换“”， ，所以直线的斜率=即直线的斜率为定值，其值为小结：取特殊点，求出定值，后续运算仅仅是一个填空程序；上述解题过程，运用了“对偶运算”，减少运算、减轻思维
3、负担2“与参数无关”例3已知直线L与抛物线交于、两点，且求证：直线L经过定点，并求出这个定点的坐标解：直线轴，设其方程为又由直线L过定点当直线不垂直于轴时，设其方程为，由，又直线：当时，“与参数无关”直线过定点，或定点小结：“与参数无关”，是初一年级关于方程“”解状讨论的直接应用：；“与参数无关”，体现为“零”多项式理论，或“零次”多项式理论例4例10(07、湖南理21）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的动直线与双曲线相交于两点【直接法求轨迹】（1）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；(2)在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)由条件知，
4、设，设第一歩：“基本特征式”：设，直线：由(*1)；第二歩：“向量特征式”：， 由（*2）第三歩：代入(整体)：由（*1）与(*2)；第四歩：消参：（1）（2），代入（1）：所以点的轨迹方程是【(2)在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由】解：假设在轴上存在定点，使为常数第一歩：先特殊探讨当与轴垂直时，点的坐标为，1常数；第二歩：再解决一般情况【以下是基本“特征式”的运算】当不与轴垂直时两设：设直线的方程是，方程组一元二次方程基本“特征式”由 ；运用基本“特征式”求解问题： 因为是与无关的常数，所以，即，此时1【与例1的注，用“与参数无关”的方法求定值】 综合
5、：在轴上存在定点，使1 小结：定点、定值的题目中，若存在(大多数是“隐含”条件)“与参数无关”类的语句，求解方法是：第一歩，将表达式关于“参数”的多项式；第二歩，令含“参数”的项的系数为零，即得到求解结论； 其理论依据：若关于方程的解为，即“零”多项式理论；若关于方程的解为，即“零次”多项式理论；若关于的函数的值与无关函数是常数函数所有含项的系数0，即“零次”多项式理论； 一般地，这类题目的运算结果，总是含有两个参数：“无关参数”和“待求参数”而本题很特殊：含“无关参数”是关于“参数”分式，增加了问题的难度 例5(2011、武汉市第二次质检、三中供题) 已知点是椭圆上任意一点，直线的方程为(1
6、)判断直线与椭圆E交点的个数；(2)直线过P点与直线垂直，点M（1，0）关于直线的对称点为N，直线PN恒过一定点G，求点G的坐标 解：(1)由0直线与椭圆只有一个交点(2)直线的方程为 设关于直线的对称点的坐标为直线的斜率直线的方程为：即直线恒过定点 小结：这道题是证明的圆锥曲线的光学性质，先猜想直线经过另一个焦点G(1，0)，然后再给予证明； 本题虽然计算量很大，但有了猜想的导向，运算方向清晰，中间过程可以猜想性的表述 二、先局部，后整体，有序地运算：“由局部整体的重组”小学解应用题的方法“先列分歩式，再列综合式”，是数学解题的基本要求数学思维的有序性体现为解题的顺序性“先解决一个子问题，再
7、解决一个子问题，当把所有的子问题完成，一个综合性的难题得到了解决”数学顺序非常重要，“设问语句干扰性”的题目，曾经使我们吃亏不小究其原因，是选择题设条件的顺序不当造成的“数学是模式与顺序的科学”，在处理复杂的问题时，更应遵守这条原则从功利性目标考虑，每一个子问题的解决，都是得分哇！ 解析几何中的数学顺序，表现为“由局部整体的重组”，“整体消参”而“对称运算”与“对偶运算”是强力支撑例5(08、武汉模拟)过双曲线的右顶点，作两条斜率分别为、的直线、，交双曲线于、其中，且，求直线的斜率为定值，并求这个定值 解：【分析：题设条件是，提示了解题顺序先局部地分别求出、，然后重组为可以预定：一定能消除参数
8、】设过右顶点(1，0)的直线方程：，由方程组： 由1(？)【注：用的是“对偶”运算】又，代入上式：，所以，【注：用的是“由局部整体的重组”下的“整体消参”】由对称性：轴，得直线的斜率.小结：本题是“对偶运算”的经典题目，反复“复制”运算结果，节约了大量的时间；在“对偶运算”的帮助下,“代点、代入”与“由局部整体的重组”有效合成为一体；本题可以先取4，1，4，求出直线的斜率后，再有目标地运算 三、“代点配凑、代入消参”的运算定式“代点配凑、代入消参”的运算定式是非常重要的运算“点差法”，本质上是这种定式的先期运用反之：“代点配凑、代入消参”的定式，是“点差法”运算的深化同时，“代点配凑、代入消参
9、”的运算定式，也是“先局部，后整体，有序地运算”的深化复杂一点的问题，其题型特征是：曲线上有两个动点；于是很容易误导 “直线与曲线相交于两点”运算模式；一旦用上式，得到的是无效运算先看下面的一道“定值”形式的题，做完后再小结，期望得到解题定式例6（09、宣武）已知是椭圆：上两个不同的点，满足，求证：|是定值，并求这个定值解：设、 ()()；代点：，配凑：()()； ()()1代入消参：|定值小结：“代点配凑、代入消参”的解题定式：代点：因为、在曲线上，；【，】配凑：按照求解目标，两式相加或相减，得到关于、的整体关系式；【()()】把上述关系式，整合为含有、 的式子，经过配凑得到一个新的关系式；
10、【1】代入消元：把配凑得到的结果，代入求解目标，继续运算【】(是“点差法”运算的复制)小结：“代点配凑、代入消参”的解题定式，在求定点定值和轨迹方程时常常用到同时还要注意：用“特殊”探求处理定点、定值、定形问题，仅仅是一种方法，并不是所有的问题都必须采用，不要构成错误的“思维定势”；“代点配凑、代入消参”的解题定式是“点差法”运算的深化，所以求解时，可以按照“点差法”的模式，“先局部，后整体，有序地运算”；“代点配凑、代入消参”的解题定式，仅仅是比“点差法”的运算多了一个“消参”环节，从而得到常数；【注：还有另外一种形式上的“代点配凑、代入消参”】例7(09、全国1)过定点作直线与椭圆：相交于
11、不同的两点，点在线段上，且求证：点总在定直线上证明：记，则，且由四点共线，设点，代点：，；配凑：，；代入消参：（）(）（1）1，所以：点Q的轨迹方程为：1小结：把线段的比，转化为向量关系然后直接采用“定式”运算这里没有使用“基本特征式”参与运算；根据求解目标：“”， 代入、配凑、消元，一气呵成 四、“代点配凑、代入消参”与求轨迹方程 高考试卷中的解析几何题，是干扰学生得高分的“瓶颈”两种情况：无法取得适当的运算途径，往往是只做第一问，得到45分，心安理得；期望突破第二问，但运算途径不合理，越算越复杂，耽误时间，耗时耗精力运气好，得到23分1“代入法”求轨迹方程、曲线过定点中的“整体消元”例8(
12、09、江西）已知点为双曲线上任一点，F2为双曲线的右焦点过作右准线的垂线，垂足为连接并延长交y轴于 (1) 求线段的中点的轨迹的方程；(2) 设轨迹与轴交于两点，在上任取一点，直线、分别交轴于两点求证：以为直径的圆过两定点解：(1)【分析：点的运动，是因为已知曲线上的已知运点生成的，标准的“相关点法”求轨迹问题】由已知得则直线的方程为：，令得，即由是的中点代入为轨迹E的方程(2) 【设轨迹与轴交于两点，在上任取一点，直线、分别交轴于两点求证：以为直径的圆过两定点】解：在中令得设，直线的方程为：,直线的方程为：)，N(0，)以为直径的圆的方程为：)(【注：圆的直径式】令【注：为什么想到？】而在上
13、为直径的圆过两定点(5b，0)、(5b，0)【注：“代入消参”】 小结：(1)“相关点法”(也叫“代入法”)求轨迹(注：求轨迹方程与求轨迹的关联与递进关系)的条件特征：两个已知：已知的动点在已知的曲线上运动；“真动点”在已知的动点的“带动”、“帮助”下运动 (2)“相关点法”求轨迹的始终如一地“围绕求出”，然后整体代入消除参数； (3)第二问“求证：为直径的圆过定点”的难点： “以为直径的圆的方程：)(” 求出后，为什么“令”？【“整体代入消元”的思维定式】； 在得到“以为直径的圆”与的交点的横坐标“”后，为什么会想到“而在上”的运算歩骤？【“整体代入消元”的思维定式】 2“参数法”求轨迹方程中的“整体消元”例9(08、山东文22)已知曲线：所围成的封闭图形的面积为4，曲线的内切圆半径为，记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆(1)求椭圆的标准方程【几何量】；(2)设AB是过椭圆中心的任意弦，L是线段AB的垂直平分线，M是L上异于椭圆中心的点若|MO|OA|(O为坐标原点)，当点A在椭圆上运动时，求点M的轨迹方程；【代点法、k参数】若M是L与椭圆的交点，求AMB的面积的最小值解：(1)由题意得椭圆方程：1(2)若AB所在的斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为ykx(k0)，A()由设M(x，y)，由|MO|OA|(0)
