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1、基本初等函数求导公式(1)(C)0(2)(xM)|HxM，1(3)(sinx)cosx(4)(cosx)-一sinx(5)(tanx)sec2x(6)(cotx)-一CSC2x(7)(secx)secxtanx(8)(cscx)-一cscxcotx(9)(ax)axlna(10)(ex)-ex1(logx)1(lnx)(11)axlna(12)x，1(arcsinx)=(arccosx)=-1(13)1-x2(14)1-x2(arctanx)-1(arccotx)1(15)1+x2(16)1+x2函数的和、差、积、商的求导法则设uu(x),vv(x)都可导，则1)(uv)uv(Cu)Cu(C是
2、常数)(uv)uvuvu)uv一uv(4)&丿厂反函数求导法则若函数x9(y)在某区间Iy内可导、单调且0(y)丰0，则它的反函数yf(x)在对应区间x内也可导，且dy复合函数求导法则f(x)=dxdx0(y)dy设yf(u)而uF(x)且f(u)及9(x)都可导，则复合函数yf叩(x)的导数为dydydudxdudx或y，f，(u)0(x)2.双曲函数与反双曲函数的导数.#出双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求#可以推出下表列出的公式：(shx)，chx(chx)，shx1(thx)，-ch2x1(arshx)，=J1+x21(archx)，=Jx2
3、11(arthx)，1x2、一个方程的情形在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经过显化直接由方程f(x,y)=0(1)求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式.隐函数存在定理1设函数卩(x，y)在点P(xo,yo)的某一邻域内具有连续的偏导数，且卩(%，y)0，,Fy(xo5yo)0，则方程F(x，y)=o在点(%，yo)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数yf(x)，它满足条件yof(%)，并有dy_Fx-dxFy公式(2)就是隐函数的求导公式这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。将方程
4、(1)所确定的函数yf(x)代入，得恒等式F(x,f(x)0,其左端可以看作是x的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得竺+竺空二0,x,ydx由于Fy连续，且Fy(Vy0)0，所以存在(X0，y0)的一个邻域，在这个邻域内Fy0，于是得dy_F=X.dxFy如果F(X,y)的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作x的复合函数而再一次求导，即得d2ydx2,xF)Fy丿Fy丿dydxFFFFxxyyzxF2yFF-FFxyyyyxF2Iy-x#FF22FFF+FF2xxyxyxyyyxF3y例1验证方程x2+y21=0在点(0,1)的某一邻域内能唯一确
5、定一个单值且有连续导数、当x=0时，y=1的隐函数y=f(x)，并求这函数的一阶和二阶导数在x=0的值。解设F(x,y)=x2+y21则Fx=2x，Fy=2yF(0,1)=0,F(0,1)=,y20.因此#由定理1可知，方程x2+y21=0在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x=0时，y=1的隐函数y=f(x)。面求这函数的一阶和二阶导数dydxFxx-y=dy=0dxx=0d2y=二dx2=y2y2d2ydx2x=0#隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程（1）可以确定一个一元隐函数，那末一个三元方程F（x,y,z）=0（3）就有可能确定一个二元隐函数。与
6、定理1一样，我们同样可以由三元函数F（x，y，z）的性质来断定由方程F（x,y，z）=0所确定的二元函数z=（x，y）的存在，以及这个函数的性质。这就是下面的定理。隐函数存在定理2设函数F（x，y，z）在点P（x0，yo,zo）的某一邻域内具有连续的偏导数，且F（Xo,yo,Zo）0，Fz（%，yo,Zo）丰0，则方程F（x，y，z）=0在点（，yo,zo）的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数zf（x，y），它满足条件0，y0)并有#，zF，zFy-(4)5x=Fdy=Fzz这个定理我们不证.与定理1类似，仅就公式（4）作如下推导.由于f（x，y，f（x，y）三o,将上式
7、两端分别对x和y求导，应用复合函数求导法则得，z+Fz,X=0,Fy+Fzy=0。#因为Fz连续，且Fz（x0,y0,z0）丰所以存在点（xo,y0,z0）的一个邻域，在这个邻域内F工0,于是得，zF，z，yz,2z例2设x2y2z2一4z0，求，x2解设F(x，y，z)=x2y2z2-4z，则Fx=2x,Fz=2z4应用公式，得，zx,x=2zc再一次x对求偏导数，得(2z)x,2z,X,x2(2z)2(2z)+xz(2一z)2+X2(2_z)2(2一z)3二、方程组的情形下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广。我们不仅增加方程中变量的个数。而且增加方程的个数，例如，考虑方程组IF(x,y
8、,u,v)，0,G(x,y,u,z)，0.这时，在四个变量中，一般只能有两个变量独立变化，因此方程组(5)就有可能确定两个二元函数。在这种情形下，我们可以由函数F、G的性质来断定由方程组(5)所确定的两个二元函数的存在，以及它们的性质。我们有下面的定理。隐函数存在定理3设函数F(x,y，u，v)、G(x,y，u，v)在点Po(Xo,yo,uo,vo)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又F(XoyoUoVo)=o，G(XoyoUoVo)=且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比Jacobi)式)：arardudva(F,G)dGdGJ，d(u,v)=dudv在点Po(Xo,yo,uo,vo)
9、不等于零，则方程组F(x,y,u,v)，0，G(x，y，u，v)，0在点(Xoyouovo)的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数u，u(x,y),v，v(x,y)，它满足条件uo=u(Xoyo),vo=v(Xouo)，并有FFxvGGxv,FF,uvGGuvFFuxGGux,FF,uvGGuv(6)u丄(F,G)J(y,v)FyGyFuGvFvGvFvGvv1(F,G)J(u,y),FuGuFuGuFyGyFvGv这个定理我们不证.uuvv例3设xu-yv，0,yu+xv，1解此题可直接利用公式(6)，但也可依照推导公式(6)的方法来求解。下面我们利用后一种方法来做。将所给方程的两边对x求导并移项，得uvx-v，u,xxuvy+x，v.、xx，x2+y2丰0的条件下uyuvxxu+yvxxyx2+y2yxxuvyvyuxvxxyx2+y2yx将所给方程的两边对y求导，用同样方法在J=x2+y2丰0的条件下可得uxv-yuvxu+yvyx2+y2yx2+y2#
