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1、七夕，古今诗人惯咏星月与悲情。吾生虽晚，世态炎凉却已看透矣。情也成空，且作“挥手袖底风罢。是夜，窗外风雨如晦，吾独坐陋室，听一曲?尘缘?，合成诗韵一首，觉放诸古今，亦独有风韵也。乃书于纸上。毕而卧。凄然入梦。乙酉年七月初七。-啸之记。 高中数学易错、易混、易忘题分类汇编会而不对，对而不全一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一
2、方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以到达授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。【易错点1】无视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。例1、设 ， ，假设 ，求实数a组成的集合的子集有多少个？【易错点分析】此题由条件 易知 ，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象。解析：集合A化简得 ，由 知 故当 时，即方程 无解，此时a=0符合条件当 时，即方程 的解为3或5，代入得 或 。综上满足条件的a组成的集合为 ，故其子集共有 个。【知识点归类点拔】1在应用条件
3、AB AB 时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合是空集的情况优先进行讨论2在解答集合问题时，要注意集合的性质确定性、无序性、互异性特别是互异性对集合元素的限制。有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言数学语言和自然语言之间的转化如： ， ，其中 ,假设 求r的取值范围。将集合所表达的数学语言向自然语言进行转化就是：集合A表示以原点为圆心以2的半径的圆，集合B表示以3，4为圆心，以r为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径r的取值范围。思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。【练1】集合 、 ，假
4、设 ，那么实数a的取值范围是 。答案： 或 。【易错点2】求解函数值域或单调区间易无视定义域优先的原那么。例2、 ,求 的取值范围【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于x的函数最值求解，但极易忽略x、y满足 这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。解析：由于 得(x+2)2=1- 1，-3x-1从而x2+y2=-3x2-16x-12=+ 因此当x=-1时x2+y2有最小值1, 当x=- 时，x2+y2有最大值 。故x2+y2的取值范围是1, 【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件 对x、y的限制，显然方程表示以-2，0为中心的椭圆，那么
5、易知-3x-1， 。此外此题还可通过三角换元转化为三角最值求解。【练2】05高考重庆卷假设动点x,y在曲线 上变化，那么 的最大值为A B C D 答案：A【易错点3】求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。例3、 是R上的奇函数，1求a的值2求的反函数 【易错点分析】求解函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。解析：1利用 或 求得a=1.2由 即 ，设 ,那么 由于 故 ， ，而 所以 【知识点归类点拔】1在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函数的解析式后说明假设反函数的定义域为R可省略。2应用 可省略求反函数的步骤，直
6、接利用原函数求解但应注意其自变量和函数值要互换。【练3】2004全国理函数 的反函数是A、 B、 C、 D、 答案：B【易错点4】求反函数与反函数值错位例4、函数 ，函数 的图像与 的图象关于直线 对称，那么 的解析式为A、 B、 C、 D、 【易错点分析】解答此题时易由 与 互为反函数，而认为 的反函数是 那么 = = 而错选A。解析：由 得 从而 再求 的反函数得 。正确答案：B【知识点分类点拔】函数 与函数 并不互为反函数，他只是表示 中x用x-1替代后的反函数值。这是因为由求反函数的过程来看：设 那么 ， 再将x、y互换即得 的反函数为 ，故 的反函数不是 ，因此在今后求解此题问题时一
7、定要谨慎。【练4】2004高考福建卷函数y=log2x的反函数是y=f-1(x)，那么函数y= f-1(1-x)的图象是 答案：B【易错点5】判断函数的奇偶性无视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。例5、判断函数 的奇偶性。【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解： 从而得出函数 为非奇非偶函数的错误结论。解析：由函数的解析式知x满足 即函数的定义域为 定义域关于原点对称，在定义域下 易证 即函数为奇函数。【知识点归类点拔】1函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。2函数 具有奇偶性，那么 是对
8、定义域内x的恒等式。常常利用这一点求解函数中字母参数的值。【练5】判断以下函数的奇偶性： 答案：既是奇函数又是偶函数非奇非偶函数非奇非偶函数【易错点6】易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。例6、函数 的反函数为 ，证明 是奇函数且在其定义域上是增函数。【思维分析】可求 的表达式，再证明。假设注意到 与 具有相同的单调性和奇偶性，只需研究原函数 的单调性和奇偶性即可。解析： ，故 为奇函数从而 为奇函数。又令 在 和 上均为增函数且 为增函数，故 在 和 上分别为增函数。故 分别在 和 上分别为增函数。【知识点归类点拔】对于反函数知识有如下重要结论：1定义域上的单调函
9、数必有反函数。2奇函数的反函数也是奇函数且原函数和反函数具有相同的单调性。3定义域为非单元素的偶函数不存在反函数。4周期函数不存在反函数5原函数的定义域和值域和反函数的定义域和值域到换。即 。【练6】199全国高考题 ，那么如下结论正确的选项是A、 是奇函数且为增函数 B、 是奇函数且为减函数C、 是偶函数且为增函数 D、 是偶函数且为减函数答案：A22005天津卷设 是函数 的反函数，那么使 成立的 的取值范围为A、 B、 C、 D、 答案：A 时， 单调增函数，所以 .【易错点7】证明或判断函数的单调性要从定义出发，注意步骤的标准性及树立定义域优先的原那么。例7、试判断函数 的单调性并给出
10、证明。【易错点分析】在解答题中证明或判断函数的单调性必须依据函数的性质解答。特别注意定义 中的 的任意性。以及函数的单调区间必是函数定义域的子集，要树立定义域优先的意识。解析：由于 即函数 为奇函数，因此只需判断函数 在 上的单调性即可。设 ， 由于 故当 时 ，此时函数 在 上增函数，同理可证函数 在 上为减函数。又由于函数为奇函数，故函数在 为减函数，在 为增函数。综上所述：函数 在 和 上分别为增函数，在 和 上分别为减函数.【知识归类点拔】1函数的单调性广泛应用于比拟大小、解不等式、求参数的范围、最值等问题中，应引起足够重视。2单调性的定义等价于如下形式： 在 上是增函数 ， 在 上是
11、减函数 ，这说明增减性的几何意义：增减函数的图象上任意两点 连线的斜率都大于小于零。3 是一种重要的函数模型，要引起重视并注意应用。但注意此题中不能说 在 上为增函数，在 上为减函数,在表达函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号和或，【练7】1 潍坊市统考题 1用单调性的定义判断函数 在 上的单调性。2设 在 的最小值为 ，求 的解析式。答案：1函数在 为增函数在 为减函数。2 2 2001天津设 且 为R上的偶函数。1求a的值2试判断函数在 上的单调性并给出证明。答案：1 2函数在 上为增函数证明略【易错点8】在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导
12、致错误结论。例8、2004全国高考卷函数 上是减函数，求a的取值范围。【易错点分析】 是 在 内单调递减的充分不必要条件，在解题过程中易误作是充要条件，如 在R上递减，但 。解析：求函数的导数 1当 时， 是减函数，那么 故 解得 。2当 时， 易知此时函数也在R上是减函数。3当 时，在R上存在一个区间在其上有 ，所以当 时，函数 不是减函数，综上，所求a的取值范围是 。【知识归类点拔】假设函数 可导，其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明： 与 为增函数的关系: 能推出 为增函数，但反之不一定。如函数 在 上单调递增，但 ， 是 为增函数的充分不必要条件。 时， 与 为增函数的关系:
13、假设将 的根作为分界点，因为规定 ，即抠去了分界点，此时 为增函数，就一定有 。当 时， 是 为增函数的充分必要条件。 与 为增函数的关系: 为增函数，一定可以推出 ，但反之不一定，因为 ，即为 或 。当函数在某个区间内恒有 ，那么 为常数，函数不具有单调性。 是 为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，防止讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。因此此题在第一步后再对 和 进行了讨论，确保其充要
14、性。在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，这需要同学们在学习过程中注意思维的严密性。【练8】12003新课程函数 是是单调函数的充要条件是A、 B、 C、 D、 答案：A2是否存在这样的K值，使函数 在 上递减，在 上递增？答案： 。提示据题意结合函数的连续性知 ，但 是函数在 上递减，在 上递增的必要条件，不一定是充分条件因此由 求出K值后要检验。【易错点9】应用重要不等式确定最值时，无视应用的前提条件特别是易忘判断不等式取得等号时的变量值是否在定义域限制范围之内。例9、 ：a0 , b0 , a+b=1,求(a+ )2+(b+ )2的最小
15、值。错解 :(a+ )2+(b+ )2=a2+b2+ + +42ab+ +44 +4=8(a+ )2+(b+ )2的最小值是8【易错点分析】 上面的解答中，两次用到了根本不等式a2+b22ab，第一次等号成立的条件是a=b= ,第二次等号成立的条件ab= ，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。解析：原式= a2+b2+ + +4=( a2+b2)+( + )+4=(a+b)2-2ab+ ( + )2- +4=(1-2ab)(1+ )+4由ab( )2= 得：1-2ab1- = ,且 16，1+ 17原式 17+4= (当且仅当a=b= 时，等号成立)(a+ )2+(b+ )2的最小值是
