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1、第四讲授课题目7.4空间曲线及其方程教学目的与要求1、掌握空间曲线的一般方程及参数方程；2、掌握空间曲线在坐标面上的投影。教学重点与难点重点：空间曲线的一般方程及参数方程。难点：空间曲线在坐标面上的投影。讲授内容：一、空间曲线的一般 空间曲线可以看作两个曲面的交线. 设F(x, y, z)=0和G(x, y, z)=0是两个曲面方程, 它们的交线为C. 因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个方程, 所以应满足方程组. 反过来, 如果点M不在曲线C上, 那么它不可能同时在两个曲面上, 所以它的坐标不满足方程组. 因此, 曲线C可以用上述方程组来表示. 上述方程组叫做空间曲线C的一般方程. 例
2、1 方程组表示怎样的曲线? 解 方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面, 其准线是xOy 面上的圆, 圆心在原点O, 半行为1. 方程组中第二个方程表示一个母线平行于y轴的柱面, 由于它的准线是zOx 面上的直线, 因此它是一个平面. 方程组就表示上述平面与圆柱面的交线. 例2 方程组表示怎样的曲线? 解 方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O, 半行为a的上半球面. 第二个方程表示母线平行于z轴的圆柱面, 它的准线是xOy 面上的圆, 这圆的圆心在点, 半行为. 方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线. 例2 方程组表示怎样的曲线? 解 方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O, 半行为2
3、a的上半球面. 第二个方程表示母线平行于z轴的圆柱面, 它的准线是xOy 面上的圆, 这圆的圆心在点(a, 0) , 半行为a . 方程组就表示上述半球面与圆柱面的交线. / 二、空间曲线的参数方程 空间曲线C的方程除了一般方程之外, 也可以用参数形式表示, 只要将C上动点的坐标x、y、z表示为参数t的函数: . 当给定t=t1时, 就得到C上的一个点(x1, y1, z1); 随着t的变动便得曲线C上的全部点. 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程. 例3 如果空间一点M 在圆柱面x2+y2=a2 上以角速度w绕z轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z轴的正方向上升(其中w、v都是常数), 那
4、么点M构成的图形叫做螺旋线. 试建立其参数方程. 解 取时间t为参数. 设当t=0时, 动点位于x轴上的一点A(a, 0, 0)处. 经过时间t, 动点由A运动到M(x, y, z) . 记M在xOy 面上的投影为M, M的坐标为x, y,0. 由于动点在圆柱面上以角速度w 绕 z 轴旋转, 所以经过时间t,AOM= w t. 从而 x=|OM|cosAOM=acos w t, y=|OM|sinAOM=asin w t,由于动点同时以线速度v 沿平行于 z 轴的正方向上升, 所以 z=MM=vt .因此螺旋线的参数方程为 , 也可以用其他变量作参数; 例如令q=w t, 则螺旋线的参数方程可
5、写为 , 其中, 而参数为q . *曲面的参数方程 曲面的参数方程通常是含两个参数的方程, 形如 . 例如空间曲线G (atb), 绕z轴旋转, 所得旋转曲面的方程为 (atb, 0q2p). (4)这是因为, 固定一个t, 得G上一点M1(j(t), y(t), w(t), 点M1绕z轴旋转, 得空间的一个圆, 该圆在平面z=w(t)上, 其半径为点M1到z轴的距离, 因此, 固定t的方程(4)就是该圆的参数方程. 再令t在a, b内变动, 方程(4)便是旋转曲面的方程. 例如直线 绕z轴旋转所得旋转曲面的方程为 . (上式消t和q, 得曲面的直角坐标方程为) 又如球面x2+y2+z2=a2
6、可看成zOx面上的半圆周 (0jp)绕z轴旋转所得, 故球面方程为 (0jp, 0q2p). 三、空间曲线在坐标面上的投影 以曲线C为准线、母线平行于z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面, 投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线C在xOy 面上的投影曲线, 或简称投影(类似地可以定义曲线C在其它坐标面上的投影). 设空间曲线C的一般方程为. 设方程组消去变量z后所得的方程 H(x, y)=0 , 这就是曲线C关于xOy面的投影柱面. 这是因为: 一方面方程H(x, y)=0表示一个母线平行于z轴的柱面, 另一方面方程H(x, y)=0是由方程组消去变量z后所得的方程, 因此当x、y、z满足
7、方程组时, 前两个数x、y必定满足方程H(x, y)=0 , 这就说明曲线C上的所有点都在方程H(x, y)=0所表示的曲面上, 即曲线C在方程H(x, y)=0表示的柱面上. 所以方程H(x, y)=0表示的柱面就是曲线C关于xOy面的投影柱面. 曲线C在xOy 面上的投影曲线的方程为: . 讨论: 曲线C关于yO z 面和zOx 面的投影柱面的方程是什么? 曲线C在yO z 面和zOx 面上的投影曲线的方程是什么? 例4 已知两球面的方程为x2+y2+z2=1, (5)和x2+(y-1)2+(z-1)2=1, (6)求它们的交线C在xOy面上的投影方程. 解 先将方程x2+(y-1)2+(
8、z-1)2=1化为 x2+y2+z2-2y-2z=1, 然后与方程x2+y2+z2=1相减得 y+z=1. 将 z=1-y代入x2+y2+z2=1 得 x2+2y2-2y=0. 这就是交线C关于xOy面的投影柱面方程. 两球面的交线C在xOy面上的投影方程为 . 例5 求由上半球面和锥面所围成立体在xOy面上的投影. 解 由方程和消去z 得到x2+y2=1. 这是一个母线平行于z轴的圆柱面, 容易看出, 这恰好是半球面与锥面的交线C关于xOy面的投影柱面, 因此交线C在xOy面上的投影曲线为 . 这是xOy面上的一个圆, 于是所求立体在xOy面上的投影, 就是该圆在xOy面上所围的部分:x2+y21. 小结与提问小结：1、空间曲线的一般方程及参数方程。2、空间曲线在坐标面上的投影。提问：1、求椭园抛物面2y2+x=z与抛物柱面2-x2=z的交线关于xOy面的投影柱面和在xOy面上的投影曲线方程.课外作业P3243,5，8。 : 友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。
