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1、 1 1第二节函数的单调性与最值 考点一函数单调性的判断与证明 例1已知函数f(x)ax，其中a0.(1)若2f(1)f(1)，求a的值；(2)证明：当a1时，函数f(x)在区间0，)上为单调减函数自主解答(1)由2f(1)f(1)，可得22a a，所以a.(2)证明：任取x1，x20，)，且x1x2，f(x1)f(x2) ax1 ax2 a(x1x2)a(x1x2)(x1x2).0x1 ，0x2 ，00，f(x)在区间0，)上为单调减函数【方法规律】利用定义证明函数单调性的步骤试讨论函数f(x)，x(1,1)的单调性(其中a0)解：设1x1x21，则f(x1)f(x2).1x1x21，x2x
2、10，x10，x10，1x1x21，x1x210.0.因此，当a0时，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，此时函数在(1,1)上为减函数；当a0时，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，此时函数在(1,1)上为增函数考点二求函数的单调区间 例2求下列函数的单调区间：(1)yx22|x|1；(2)ylog(x23x2)自主解答(1)由于y即y画出函数图象如图所示，单调递增区间为(，1和0,1，单调递减区间为1,0和1，)(2)令ux23x2，则原函数可以看作ylogu与ux23x2的复合函数令ux23x20，则x1或x2.函数ylog(x23x2)的定义域为(，1)(2，)又u
3、x23x2的对称轴x，且开口向上ux23x2在(，1)上是单调减函数，在(2，)上是单调增函数而ylogu在(0，)上是单调减函数，ylog(x23x2)的单调减区间为(2，)，单调增区间为(，1)【互动探究】若将本例(1)中的函数变为“y|x22x1|”，则结论如何？解：函数y|x22x1|的图象如图所示由图象可知，函数y|x22x1|的单调递增区间为(1，1)和(1，)；单调递减区间为(，1)和(1，1)【方法规律】函数单调区间的求法(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函
4、数、指数函数等(2)如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间求函数y的单调区间解：令ux2x6，y可以看作y与ux2x6的复合函数由ux2x60，得x3或x2.ux2x6在(，3上是减函数，在2，)上是增函数，而y在(0，)上是增函数y的单调减区间为(，3，单调增区间为2，)高频考点考点三 函数单调性的应用1高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中2高考对函数单调性的考查主要有以下几个命题角度：(1)利用函数的单调性比较大小；(2)利用函数的单调性解决与抽象函数有关
5、的不等式问题；(3)利用函数的单调性求参数；(4)利用函数的单调性求解最值(或恒成立)问题例3(1)(20xx济宁模拟)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)abBcbaCacb Dbac(2)(20xx天津高考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)上单调递增若实数a满足f(log2a)f(loga)2f(1)，则a的取值范围是()A1,2 B.C. D(0,2(3)已知函数f(x)满足对任意的实数x1x2都有ac.(2)由已知条件得f(x)f(x)，则f(log2a)f(loga)2f(1)f(log2a)f(l
6、og2a)2f(1)f(log2a)f(1)，又f(log2a)f(|log2a|)且f(x)在0，)上单调递增，所以|log2a|11log2a1，解得a2.(3)据题意要使原函数在定义域R上为减函数，只需满足解得a.(4)易知f(x)在a，b上为减函数，即ab6.答案(1)D(2)C(3)C(4)6函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决(2)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(3)利用单调性求参数视参数为
7、已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的(4)利用单调性求最值应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值1已知f(x)为R上的减函数，则满足ff(1)的实数x的取值范围是()A(，1) B(1，)C(，0)(0,1) D(，0)(1，)解析：选D依题意得1，即0，所以x的取值范围是x1或x0.2(20xx杭州模拟)已知减函数f(x)的定义域是实数集R，m、n都是实数如果不等式f(m)f(n)f(m)f(n)成立，那么下列不等式成立的是()Amn0 Bmn0Cmn0 Dmn0解析
8、：选A设F(x)f(x)f(x)，由于f(x)是R上的减函数，f(x)是R上的增函数，f(x)是R上的减函数，F(x)为R上的减函数，当mn时，有F(m)F(n)，即f(m)f(m)f(n)f(n)成立，因此当f(m)f(n)f(m)f(n)成立时，不等式mn0一定成立，故选A.3已知f(x)(xa)，若a0且f(x)在(1，)内单调递减，则a的取值范围为_解析：任设1x1x2，则f(x1)f(x2).a0，x2x10，要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0恒成立a1.综上所述，a的取值范围是(0,1答案：(0,1课堂归纳通法领悟1个防范函数单调区间的表示单调区间只能用区间表示
9、，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“”联结，也不能用“或”联结2种形式单调函数的两种等价变形设任意x1，x2a，b且x10f(x)在a，b上是增函数；0f(x)在a，b上是减函数(2)(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是减函数2条结论函数最值的有关结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到 (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)3种方法函数单调性的判断方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论 (2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数 (3)图象法：利用图象研究函数的单调性
