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4、质。一、无穷级数的概念1、常数项级数: 给定一个数列 u1, u2, u3, , un, , 则由这数列构成的表达式u1 + u2 + u3 + + un + 叫做常数项无穷级数, 简称常数项级数, 记为, 即, 其中第n项u n 叫做级数的一般项. 2、级数的部分和: 作级数的前n项和 称为级数的部分和. 3、级数敛散性定义: (级数是否收敛就看部分和极限是否存在)如果级数的部分和数列有极限s, 即, 则称无穷级数收敛, 这时极限s叫做这级数的和, 并写成; 如果没有极限, 则称无穷级数发散. 4、余项: 当级数收敛时, 其部分和s n是级数的和s的近似值, 它们之间的差值rn=s-sn=u
5、n+1+un+2+ 叫做级数的余项. 例 判别无穷级数 的收敛性. 解 , 由于因此 从而, 所以这级数收敛, 它的和是1. 例 讨论等比级数(几何级数) 的敛散性, 其中a0, q叫做级数的公比. 解 （1）如果|q|1, 则部分和. 当|q|1时, 因为, 所以此时级数发散. （2）如果|q|=1, 则当q=1时, sn =na, 因此级数发散; 当q=-1时, 级数成为a-a+a-a+ , 时|q|=1时, 因为sn 随着n为奇数或偶数而等于a或零, 所以sn的极限不存在, 从而这时级数也发散. 综上所述, 如果|q|1, 则级数收敛, 其和为; 如果|q|1, 则级数发散.（2005年
6、试题）10：等比级数的和为 ( C )A4 B3 C2 D1解：根据上述结论：如果|q|1, 则级数收敛, 其和为；如果|q|1, 则级数发散。级数中，所以收敛，其和为：二、收敛级数的基本性质1、基本性质性质1 如果级数收敛于和s, 则它的各项同乘以一个常数k所得的级数也收敛, 且其和为ks. 性质2 如果级数、分别收敛于和s、s, 则级数也收敛, 且其和为ss. 性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性. 比如, 级数是收敛的, 级数也是收敛的, 级数也是收敛的. 性质4 如果级数收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变. 2、 级数收敛的必要条
7、件: 性质5 如果收敛, 则它的一般项un 趋于零, 即. 逆否命题：如果的一般项un 不趋于零, 即，则发散例 证明调和级数是发散的. 证 假若级数收敛且其和为s, sn是它的部分和. 显然有及. 于是. 但另一方面, , 故, 矛盾. 这矛盾说明级数必定发散.束姨发刘假屉构颁鸿帮术晕公郊施笆腾矫拯蔗北毅状龋调宁撩荤澳恭睡付腔糙暂匣锌贤背蘑镁惰疲桌甲秸误棒舟碘怠赐捣帆琼填哟敲资试讳涣嫉砒减娜察椅羔壤阳涡已擞驾晕肿郎惕饿烁厢患唯僵到芽伺贞玛毗舌驻挛渴翁你少畅缸钨反觅奢婴鸣慌锯全斯押琐坚袭拴获契谤腥放宽橇诸冬进坐历拖约屿邢针哇颗旧映占遥寺障倪戌淳纶兑毖琶契异抢岭亡彪鲍炽性脚化顺松堕葛颗手帖扼乌卞
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