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1、新教材适用北师大版数学【成才之路】高中数学 第3章 1第2课时 函数的极值课时作业 北师大版选修2-2一、选择题1函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值有()A1个B2个C3个D4个答案A解析若导函数f(x)在某点两侧的符号为“左负右正”，则该点为极小值点，由图像可知极小值点只有一个2函数yx33x2的极大值为m，极小值为n，则mn为()A0 B1 C2 D4答案D解析令y3x230x1或x1，经分析知f(1)为函数yx33x2的极大值，f(1)为函数yx33x2的极小值，故mnf(1)f(1)4.3函数y
2、x4x3的极值点的个数为()A0B1C2D3答案B解析yx3x2x2(x1)，由y0得x10，x21.当x变化时，y，y的变化情况如下表x(，0)0(0,1)1(1，)y00y无极值极小值故选B.4关于函数的极值，下列说法正确的是()A导数为零的点一定是函数的极值点B函数的极小值一定小于它的极大值Cf(x)在定义域内最多只能有一个极大值、一个极小值D若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数答案D解析对于f(x)x3，f(0)0，但x0不是f(x)的极值点，故A不正确极小值也可能大于极大值，故B错，C显然不对5(2014西川中学高二期中)已知f(x)x3ax2(a6
3、)x1有极大值和极小值，则a的取值范围是()A1a2B3a6Ca6 Da2答案C解析f (x)3x22axa6，f(x)有极大值与极小值，f (x)0有两不等实根，4a212(a6)0，a6.二、填空题6函数f(x)2x33x2的极大值等于_，极小值等于_答案01解析f(x)6x(x1)，令f(x)0，得x10，x21.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下：x(，0)0(0,1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以当x0时有极大值f(0)0，当x1时有极小值f(1)1.7函数f(x)xlnx的极小值等于_答案1解析f(x)1，令f(x)0，则x1，当x变化时，f(x)与f(x
4、)的变化如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值f(x)的极小值是f(1)1.8若函数f(x)在x1处取极值，则a_.答案3解析f(x)，f(1)0a3.三、解答题9已知函数f(x)x3ax2bxc在点x0处取得极小值5，其导函数yf(x)的图像经过点(0,0)，(2,0)，(1)求a，b的值；(2)求x0及函数f(x)的表达式解析(1)由题设可得f(x)3x22axb，f(x)的图像过点(0,0)，(2,0)，解之得：a3，b0.(2)由f(x)3x26x0，得x2或x0；当在(，0)上，f(x)0.在(0,2)上f(x)0，在(2，)上f(x)0，故f(x)在(，0)，(2，
5、)上递增，在(0,2)上递减，因此f(x)在x2处取得极小值，所以x02，由f(2)5，得c1，f(x)x33x21.10.设函数f(x)x33axb(a0)(1)若曲线yf(x)在点(2，f(2)处与直线y8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点分析考查利用导数研究函数的单调性，极值点的性质，以及分类讨论思想解析(1)f(x)3x23A因为曲线yf(x)在点(2，f(2)处与直线y8相切，所以即解得a4，b24.(2)f(x)3(x2a)(a0)当a0，函数f(x)在(，)上单调递增，此时函数f(x)没有极值点当a0时，由f(x)0得x.当x(，)时，f(x)0，函数f(
6、x)单调递增；当x(，)时，f(x)0，函数f(x)单调递增f(x)的增区间(，)，(，)，减区间(，)，此时x是f(x)的极大值点，x是f(x)的极小值点.一、选择题1已知函数f(x)ax3bx2c，其导函数的图像如图所示，则函数f(x)的极小值是()Aabc B8a4bcC3a2b Dc答案D解析由f(x)的图像可知x(，0)(2，)时，f(x)0f(x)在(，0)和(2，)上为减函数，在(0,2)上为增函数x0时，f(x)取到极小值为f(0)c.2已知函数f(x)ax23x2a，若不等式f(x)0的解集为x|1x0，所以y0有两个相异实根，故函数yxf(x)有两个极值点3下面四图都是在同
7、一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是()A BC D答案B解析对于，f(x)在原点附近为增函数，f(x)0，而图像中当x0时，f(x)0，一定不正确；对于，同理，导函数开始应在x轴上方，一定不正确，故选B.4若函数yx33axa在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是()A1a2 B1a4C2a4或a0，y3x23a0x，不难分析当1a0时，cosx恒成立，1，a1，0a1；a0时，cosx恒成立，1，a1，即1a0，综上知1a1.6.已知f(x)x36x29xabc，ab0；f(0)f(1)0；f(0)f(3)0.其中正确结论的序号是_答案解析本题考查了导数工具有
8、研究函数零点方面的应用设g(x)x36x29x0，则x10，x2x33，其图象如图：要使f(x)x36x29xabc有3个零点，须将g(x)的图象向下平移，如图所示：又f(x)3x212x90时，x11，x23，即得f(1)是极大值，f(3)是极小值由图象可知f(0)f(1)0.对于函数的零点问题要注意和对应方程的根及函数的图象联系起来，当一个函数不能直接画出图象时，要有求导的意识来探究一下函数的基本性质然后再画草图三、解答题7.设f(x)alnxx1，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值分析(1)对f(x)求导，运用f(1)0
9、求出a的值，(2)由f(x)0解得x值，结合函数定义域，讨论在各区间上f(x)的符号，从而确定极值解析(1)因f(x)alnxx1，故f(x).由于曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f(1)0，从而a0，解得a1.(2)由(1)知f(x)lnxx1(x0)，f(x).令f(x)0，解得x11，x2(因x2不在定义域内，舍去)当x(0,1)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数故f(x)在x1处取得极小值f(1)3.点评本题通过对导数的考查，解决了常见的斜率问题，极值问题，题目简单，方法常规，但本题容易忽视函数的定义域，从而导致出错。8.(2014山
10、东省菏泽市期中)已知函数f(x)x2alnx.(1)若a1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a1，求证：在区间1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x3的图象的下方解析(1)由于函数f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f (x)x，令f (x)0得x1或x1(舍去)，当x(0,1)时，f (x)0，因此函数f(x)在(1，)上单调递增，则x1是f(x)的极小值点，所以f(x)在x1处取得极小值为f(1).(2)证明：设F(x)f(x)g(x)x2lnxx3，则F(x)x2x2，当x1时，F(x)0，故f(x)在区间1，)上单调递减，又F(1)0，在区间1，)上，F(x)0恒成立，即f(x)g(x)恒成立因此，当a1时，在区间1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x)图象的下方s
