动点问题最值

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1、动点问题最值最值问题有四种情形：定点到动点的最值，动点在圆上或直线上，就是点到圆的最近距离， 和点到直线的最近距离；三角形两边之和大于第三边的问题，当两边成一直线最大；几条 线段之和构成一条线段最小；还有就是对称点最小问题。一、定点到动点所在圆的最大或最小值，动点在一个定圆上运动，其实质是圆外一点到圆 的最大或最小距离，就是定点与圆心所在直线与圆的交点的两个距离。方法：证明动点在圆上或者去找不变的特殊三角形，证明两个三角形相似，求出某些边的 值。1. 如图， ABC EFG均是边长为2的等边三角形，点 D是边BC EF的中点，直线 AG、FC相交于点M .当AEFG绕点D旋转时，线段BM长的最

2、小值是（）A. 2,3B.3 1D.3 1DN 是 AB边上一动点，将 AMN沿 MN所在直线翻折得到 A MN连接A C,则A C长度的最小值是5、如图，等腰直角(1)(2)(3)求证：AD=PB 若/ CPB=135 Z PBC=/ PBC=ACB AC=BC=E，等腰直角 CDP 且 PbU2，将 CDP绕 C点旋转.P，求BD时，BD有最大值，并画图说明； 时，BD有最小值，并画图说明分析：在厶 ABD中有：BDC AB+AD当BD=AB+AD寸BD最大，此时 AB与AD在- 且AD在BA的延长线上，又 ACB是等腰直角三角形，Z CAB=45，由（1） CAD=180 -45 =13

3、5知D AB上,BD AB-AD当BD=AB-AD时BD最小，此时，AB与AD在一条直线上，且 AD在线段 此时Z CAD=45，所以Z PBCZ CAD=45提示：点M在以AC为直径的圆上2. （2015?咸宁）如图，已知正方形 ABCD的边长为2, E是边BC上的动点，BF丄AE交CD 于点F，垂足为G,连结CG .下列说法：AG GE;AE=BF;点G运动的路径长 为nCG的最小值为苗-1 .其中正确的说法是.（把你认为正确的说法的序号都填上） 提示：G在以AB为直径的圆上：正确答案是：3、 如图，正方形 ABCD的边长为4cm,正方形 AEFG的边长为1cm如果正方形 AEFG绕点A

4、旋转，那么C、F两点之间的最小距离为 G F4、如图，在边长为 2的菱形ABCC中，Z A=60 ,M是AD边的6、如图， ABHA ADE都是等腰直角三角形，ZAC=. 2 , F 为 BE中点.（1 ）求CF的长（2）将厶ADE绕A旋转一周，求点 F运动的路径长CADFDACB玄 ADE=90 , Z BAE=135 ,AD=1, B（3） ADE绕点A旋转一周，求线段 CF的范围.1提示：本题根据中点构造三角形相似，BO3A BAE且OF _AE2以点P为直角顶点的7、如图，AB=4, O为AB中点，O O的半径为1,点P是O 0上一动点,等腰 PBC(点P, B, C按逆时针方向排列)

5、则线段 AC的取值范围C提示：发现定等腰直角厶 AOC与等腰直角 OBE从而得到相似BOPA BEC CE=2BAE=2. 2 在厶 ACE中, AE-CEC AC AE+CE 8、如图， ABC是等边三角形，边长为 2 , D是AC边上一动点，连接 BD,9、如图,正方形 ABCD 点，求BF得最大值。 连AC,取DC中点G,取A GH 1aD 2，/ GFH=/点F在以GH为直径的圆上B于卜一点，且/ AED=90连CE F为CE的中DDGB其实质是点到C1F最大值为、定点到动点所在定直线的最小值,动点在一条直线上运动,/八b ! IABM C距离。方法：1 在平面直角坐标系中，已知A(2

6、 , 4)、P(1 , 0) , B为y轴上的动点，以 AB为边构造 ABC,C使点C在X轴上，/ BAC= 90 M为BC的中点，贝U PM的最小值为 取特殊位置考虑：A,OC=10,此时 M (5,0)当点时0PM2当C在原C M i时，OA 2*5J X50,5 ),此时M( 0 ,),所以点M在直线y丛 2-X -上运动2 2圆，过点A作AE/ BC交O O于E,连接DE BE.则厶ADE的周长的最小值为 2+ O 3 PMM,4/5M2OM1 PM=5/ OM=AM 点 M在0A的垂直平分线上。2、在平面直角坐标系中，A (-3,0 ), B (3,0 ), C (0, -3 3 )

7、, E为y轴上一动点，以BE为边向左侧作正厶BEF贝U OF的最小值为 提示：点F在如图所示的直线 AF上运动。 那两个涂色的三角形始终是全等的/ FAO=3C OF 33-W323、如图，点D在等边 ABC的边BC的延长线上，点E、F分别是连接EF,以EF为边构造等边 EFG连接DG若BD=2,AA E 则DG且 AF=BE的最小值是爲/ BC-AB上的点,T-6A考虑特殊位置：当当E与B重合时，F与A重合，此时 BG/ AC当E与C重合时，F与B重合，FG/ AC,所 有点G在过点B且与AC平行的直线上，/ DBG=60，当DG垂直于过B与AC平行的直线垂直时，DG最小是过 E 作 EH/

8、 AC,贝有厶EGBEBG=Z EHF=60点G在平行于AC的直线GB上运动。4、如图，OA=3 / OAB=60 , P为射线BO上一动点，E为OB中点，以AP为边作等边3则点P运动过程中CE的最小值为34易证： APHA ACB（ H为y轴负半轴上的那个点） AC=BCA点C在AB的垂直平分纟三、根据三角形两边之和大APC,BC丄 AC 于 C, AC=2BC,E其他第三边，两边之差小于第三边，最大值就是让第三边等于其1、15、 ACD 中，A则BD的最大值是提示：过C 作 CE! CD使 CE=2CD 连接 AC,A则有-BCBA ACE 则有-BD CDAE CEAE 又 AE DE+

9、AD=13 BD=6.5AB=4, O为AB中点,O O的半径为1,八、P是。O上一动点，以点P为直角顶点的 等腰 PBC（点P, B, C按逆时针方向排列）则线段 AC的取值范围 .2 AP 22、如图,O提示：发现定等腰直角厶 AOC与等腰直角 OBE从而得到相似BOPA BEC CE=2AE=22 在厶 ACE中，AE-CEC AC AB-AD当BD=AB-AD时BD最小，此时，AB与AD在一条直线上，且 AD在线段 此时Z CAD=45，所以Z PBCZ CAD=45四、由三角形第三边小于两边之和推广可以得到，最小值问题，就是要两条线段的和或多CD AB 上,他两边的和，最小值就是第条

10、线段的和构成一条线段，理由是两点之间线段最短。1、如图，四边形 ABCD是正方形， ABE是等边三角形, 绕点B逆时针旋转 60得到BN连AM CM EN.M为对角线BD上任意一点，将BM（1）求证： ABMA ENB(2) 当M点在何处时，AM+C啲值最小？当M点在何处时，AM+BM+C的值最小？并说明理由(3) 当AM+BM+C的值最小值为.31时，求正方形的边长2. ( 2015?天津)在每个小正方形的边长为1的网格中.点 A, B, D均在格点上，点 E、F分别为线段 BC、DB上的动点，且 BE=DF .(I )如图，当BE=时，计算 AE+AF的值等于:八2 _ 2 (H )当AE

11、+AF取得最小值时，请在如图 所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AE, AF，并简要说明点 E和点F的位置如何找到的(不要求证明)取格点H , K ,连接BH , CK，相交于点 P,连接AP,与BC相交，得点 E,取格点 M, N连接DM , CN,相交 于点G,连接AG,与BD相交，得点F，线段AE, AF即为所求. .22443、已知抛物线y x 2nx n n的顶点为P,直线y x 分别交x,y轴于点M ,93N.(1) 若点P在直线MN上，求n的值；(2) 是否存在过(0， 2)的直线与抛物线交于 A, B两点(A点在B点的下方)，使AB为定长，若存在，求出 AB的长；若不存在，

12、请说明理由；(3) 在(2)的条件下，当四边形 MABN的周长最小时，求 n的值.【意图】本题综合考查运用初中数学核心内容和重要的思想方法解决问题的能力.【考点】抛物线的解析式求法，坐标的方法，直线与抛物线的交点问题，一元二次方程根与 系数的关系等，坐标系中定值和最值问题.4412【解析】(1)配方P (n, n)代入y 4x主,得n= .935如图1，设过(0， 2)的直线为y kx 2 ,ykx2,联立y(xn)2 n消元得2 x(k2n)x n2 n 20 X1X22nk ,x1x2n2 n 2,设 A(x1,y1), B(x2,y2) (x1 x2)2 (x1 x2 )2 4x_jX2

13、 k28 (4 4k)nAB2(1 k2)k2 8 (4 4k)n要使AB为定长，则 AB2的值与n的取值无关， 44k=0. k=1存在直线y=x 2，使AB为定长，且AB=3.2 .4(3)如图2，易求M ( 3, 0), N(0,-)，平移AB,使A点于M点重合，则 B的对应点G刚3好落在y轴上，因为AB= 3,2，所以G( 0，3).作点G关于直线y=x 2的对称点H(5， 2).过G作GF1 y轴，交直线 AB于F,连FH,所以FH=FG=5又/ FGA=/ AFH=45 ,连接NH 交直线y=x 2为点R (2，0).ty将 R(2，0)代入 y (x n)2 n 中,得厲1，门2 4 (舍去). n=1 .五、利用对称求最值GMH1.如图，/ AOB= 30 点 M、N分别在边 OA、OB上，且 OM = 1 , ON= 3,点P、Q分别在边OB、OA上，贝U MP+ PQ+ QN的最小值是2、已知抛物线yx2 2nx n2 n的顶点为P,直线y 4N.(1) 若点P在直线MN上，求n的值；(2) 是否存在过(0， 2)的直线与抛物线交于 A，B两点AB为定长，若存在，求出 AB的长；