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1、数学必修4第二章平面向量知识点2.1平面向量的实际背景及基本概念1. 向量：既有大小又有方向的量。2. 向量的模：向量的大小即向量的模（长度），如AB,a的模分别记作|AB|和1a1。注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。3. 几类特殊向量零向量：长度为0的向量，记为0,其方向是任意的，0与任意向量平行，零向量a=0IaI=0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量,故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别）单位向量卡为i个单位长度的向量，向量a0为单位向量|=1。将一个向量除以它的模即得到单位向量，如a的单位向量为:（3）平行向量（
2、共线向量）：方向相同或相反的非零向量,称为平行向量.记作ab。规定：0与任何向量平等,任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移（即自由向量）,平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。（4）相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量。记作，a。关于相反向量有：零向量的相反向量仍是零向量，（a）二a；a+（，a）=0；若a、b是互为相反向量，贝y丄a=一
3、b,b=一a,a+b=0。（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量。记为a=b。相等向量经过平移后总可以重合。2.2平面向量的线性运算1. 向量加法（1）定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法设AB=a,BC=b,贝Ua+b=AB+BC=AC。规定：0+a=a+0=a；（2）向量加法的法则一“三角形法则”与“平行四边形法则” 用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量b是始点与已知向量的始点重合的那条对角线。 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和。注：当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角
4、形法则。向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB+BC+CD+PQ+QR，AR，但这时必须“首尾相连”。（3）向量加法的运算律：交换律：a+b，b结合律：（a+b）+c=a+（a+c）2. 法向量的减（1）定义：若a+x，b则向量x叫做a与b的差，记为b-a。求两个向量差的运算，叫做向量的减法許（2）向量减法的法则一“三角形法则”与“平行四边形法则” 三角形法则：当a,b有共同起点时,。匚b表示为从减向量联勺终点指向被减向量0的终点的向量一示的对角线。设AB，a,AC，b则3. 实数与向量的积是要共始点的，差向量是如图所a-b=ABAC，CB.” 平行四边形法则：两个已知向量(1)定义:
5、Aa实数入与向量a的积是一个向量，记作九a，它的长度与方向规定如下： 入a，九.a；九a的方向与a的方向相同；当九0时，氓a的方向与a的方 当九0时，向相反；当九，0时，九a，0，方向是任意的。（2）数乘向量的运算律九（卩a），p）a；（九+y）a，九a+卩a；九（a+b店九a+九b。2.3平面向量的基本定理及坐标表示1平面向量基本定理：如果e，e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内12的任一向量a，有且只有一对实数入，入2使a=入e+入2e.121122注意：（1）我们把不共线向量e?叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；（2）基底不惟一，关键是不共线;2.向量的夹角:已知两个非
6、零向量a、b，作OA=a，OB=b，则ZA0B=e，叫向量a、b的夹角，当e=o,a、b同向，当e=180,a、b反向，当e=90，a与b垂直,记作a丄b。3. 平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底，由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成a=xi,yj，由于a与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作q=(x,y)，其中x叫作a的横坐标，y叫做作纵坐标。规定： I刃1,0)，j(0,1)卜 相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量; 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只
7、与其相对位置有关4. 平面向量的坐标运算： 若a=(x,y),b(x,y)，贝Vab=(xx,yy；11221212 若A(x,y)B(x,y，则AB=(x-x,yy；11222121 若a=(j,y)，则九a=(九x,九y)量为 若a=(x,y),b=(x,y)，贝Ua/boxy一xy=0；a丄b=xx+yy112212211212 若a=(x,y),b=(x,y)，贝Ua=box=x,y=y1122121注意起点在前，终点在后；如a，b，c等;y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为axi,yj=(x,y，附：向量的表示方法：1.几何表示法：用带箭头的有向线段表
8、示，如AB,4. 2.符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，5. 3.坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、称(x,y)为向量a的坐标，a=(x,y)叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。2.向量的夹角:已知两个非零向量a、b，作OA=a，OB=b，则ZA0B=e，叫向量a、运算向量形式坐标形式：二(x,y)；11加法减法数乘数量积运算性质加法：平行四边形法则：起点相同,对角线为和向量。三角形加法法则：首尾相连。记：ABBC二AC起点相同的两个向量的差，（箭头指向被减向量）记：OAOB=BAABAC=CBa是一个向量，a=IIIaI方向：0时
9、，与a同向；2.4平面向量的数量积(1)平面向量的数量积的定义AS向量a,b,的夹角：已知两个非零向量a,b,过O点作OA=a,OB=b,则ZAOB=0(0o0180o)叫做向量a,b,的夹角。当且仅当两个非零向量a,b同方向时，0=0o,当且仅当a,b反方向时0=1800,同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。a与b垂直；如果a,b的夹角为90则称a与b垂直，记作a丄b。a与b的数量积:两个非零向量a,b，它们的夹角为0,则a-b-cos,叫做称a与b的数量积(或内积)，记作a-b,即a-b=a-b-cos,规定0a=0非零向量a与b当且仅当alb时，0=90,这时ab=0。b在a方
10、向上的投影：OPbcos,(注意op是射影)所以,的几何意义：ab等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积。(2)平面向量数量积的性质设a,b是两个非零向量，e是单位向量，于是有：ea=ae=acos,；albab=0；当a与b同向时，ab=ab；当a与b反向时，ab=一ab,特别地,cos,=:?；a-ba-b(3)平面向量数量积的运算律交换律成立：a-b=b-a=xC-)=adgR)对实数的结合律成立：分配律成立：a+b-c=a-c+b-c=c-a+b特别注意：(1)结合律不成立：aI，(XI-b)c；(2)消去律不成立a-b=a-c不能得到b=c-(3)a-b=0但是乘法公式成立：C+b=
11、a+2a-bb=a$2a-bb2不能得到a=0或b=0Cb)C-b)=a2-b2=”2一|b3)平面向量数量积的坐标表示 若a=(x,y),b=(x,y)则a-b二xx+yy11221212 若a=(x,y)则|a|2二a.a=X2+y2,a=x2y2 若A(x,y),B(x,y),则AB=x-x2+(y-y211222121若a=(x,y),b=(x,y)则a丄bOxx+yy=0(注意与a/b时条件区别,11221212a/bOxy-xy=0)1221若a=(x,y),b=(x,y)则cos，=%2yiy1122x2y2x2y211222.5平面向量应用列举1、线段的定比分点(1)定义：设P
12、,P2是直线L上的两点，点P是L上不同于P,P2的任意一点,则存在一个实数x，使pp=xpp，x12叫做点P分有向线段PP所成的比。当点P在线段PP上时，九0；当点P在1212线段PP或PP的延长线上时，九012122)定比分点的坐标形式xXx121XyXy121X,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y)，向量形式呢？3)中点坐标公式当X=1时，分点P为线段PP的中点，即有,12xxx=122yyy122向量形式呢？2、平移(1) 图形平移的定义：设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有点按照同一方向移动同样长度，得到图形F,我们把这一过程叫做图形的平移。(2) 平移公式设P(x,y)是图形F上任意一点,它在平移后图形上的对应点P(xy),且PP的坐标为(h,k),则有“h，这个公式叫做点的平移公式，它反映Iyyk了图形中的每一点在平移后的新坐标与原坐标间的关系。
