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1、2.3二次谐波的产生及其解二次谐波或倍频是一种很重要二阶非线性光学效应，在实践中有广泛的应用，如Nd:YAG激光器的基频光(1.064口m)倍频成0.532pm绿光，或继续将0.532口m激光倍频到0.266口m紫外区域。本节从二阶非线性耦合波方程出发，求解出产生的二次谐波光强小信号解，并解释相位匹配对二次谐波产生的影响。231二次谐波的产生设基频波的频率为，复振幅为E；二次谐波的频率为(2)，复11221振幅e2。由基频波在介质中极化产生的二阶极化强度P,2)，辐射出的二次谐波场E3(z)所满足的非线性极化耦合波方禾(2.3.1-1)(2.3.1-2)(2.3.1-3)(2.3.1-4)dE
2、Li吗P(2)(z)edz2k22P2(z)8咒(2)(,):E1(z)EQe2ikz2021111注意简并度D1，w221i01冬咒(2)(-w;w,w):E(z)E(z)eikzdz2k0211112i咒(2)(-w;w,w):El(z)E,(z)ei波矢失配量，k2kk12写成单位矢量(光波的偏方向或电场的振动方向)和标量的乘积形式E3aE，基频光场可能有两种偏振方向，即aE,aE，两种偏振方向可以是3331111相互平行也可以是相互垂直，并有a3-a31:E2(z)eikz12i2a空咒(2)(,):a二dzncI2112d一基频波与产生的二次谐波耦合产生的极化场强度P,2)，辐射出基
3、频光场满足的非线性极化耦合波方程。dEA(z).2,2),)(2.3.1-6)1i兰P,2)(z)e-呼dz2k1-#(2.3.1-7)P,(z)=2,咒(2)(;，-):E?(z)E；(zLig-kjz10121212#dE(z)1二i1dznc1a-咒(2)(-;，-)：aa112121_:E(z)E*(z)e-iAkz(2.3.1-8)212#2#即,远离共振区，则13如果介质对频率为,的光波都是无耗的，1嗔x(2)(-;),x(2)(-;，-)都是实数。311131进一步考虑极化率张量的完全对易对称性和时间反演对称性可以证明:(2.3.1-10)咒=a-咒(2)(-,-):aaeff1
4、12121=a-/(2)(-:aa221111二次谐波的耦合波方程组为：疋色2i咒(2)e(z)E*(z)e-iAkzcneff211dE(z).二idz(2.3.1-11)-2-dz咒(2)E2(z)e达kzcneff12(2.3.1-12)2#2#2.3.2二次谐波的小信号解E1(0)1E(0)=03图1倍频边界条件1、小信号解在小信号近似下，基频波复振幅不随光波传输距离改变(2.3.2-1)dE(z)八dz并由边界条件E(0)=0，对二次谐波的耦合波方程(2.2.1-12)积分得:2#】0(L)宀(2)E2(o)9cneffk,sin(kL2)=i咒(2)E2(o1LeikL2cn2(2
5、.3.2-2)eff1kL/2#】0二次谐波的光强为：#】0#】0I(L)=ecn2202E2L12=ecnC)202eff1wc丿Ei(o1kLsm2-42_2(2.3.2-3)#】0%)|e(o)4eff和函数定义咒(2)=2deffeffsinxsinclx丿=xI=ecn20得到小信号近似下的二次谐波解以及1e,24d2=0eff22cn28,2d2L2=ef12sinc2ec3nn21021(21),ecn丿01(kL2L2sinc2(2.3.2-4)(2.3.2-5)(2.3.2-6)(2.3.2-7)1 e,2L2=02 cn2利用,二2,有效倍频系数(有效非线性光学系数)21小
6、信号近似下倍频效率：n=P=8,defLIsinc2(竺(232-8)Pec3n2n(2丿03倍频效率正比于基频光束功率密度，输出倍频光强是基频波光强的平方。同时由曼利罗关系，在产生一个二次谐波光子的同时，要湮灭两个基频波光子。转换效率正比于倍频系数的平方，即与正比于有效极化率系数的平方/(2)2e2、二次谐波解的讨论D.8-Q.6-040.2-ooX-8-6AkL=0.8X6rr-4-20246图2sinc2kL函数定义相位匹配带宽：由二次谐波光强最大值一半处的kL宽度，定义允许的相位失配量(232-9)k，0.886兀/LBW图3不同相位匹配因子倍频效率与晶体长度关系定义相干长度：如果相位
7、失配量k鼻0，使倍频光强单调增长的一段距离为相干长度LC(2.3.2-10)L，ck由上面的讨论知，在小信号近似下，为获得高的倍频效率，首先应满足相位匹配条件k，0，并且选用有效倍频系数大和较长的晶体，尽可能增强基频光的强度。#2.3.3二次谐波的大信号解(基频波存在损耗)产生二次谐波的耦合波方程为dEi(z)=i红咒(2)E(z)E*(z)eikz(2.3.3-1)dzcneff21dE(z).,(、厂()2=l咒E2z丿eikzdzcneffi2讨论在相位匹配条件下，即k=0，此时基频波和二次谐波的折射率相等，n=ni2dE如果基频波存在损耗，竺丰0dz二次谐波耦合波方程变为：dzdE(z
8、).,(、厂()=i咒(2)E2(z)cneff11dE=ih(2)E(z)E*(z)(2.3.3-2)-2-dzcneff211d(EE*)d(EE*)类似于曼利一一罗关系，作亠+亠运算，得到dzdzE(z)2+|E(z)2=常数(233-3)由初始条件E(0)=0;E(0)北02iE(z)2+|E(z)2=|E(0)2(2334)(2.3.3-5)i2#考虑到积分方程：dxa2x2=tanh-i(2.3.3-6)i2#i2#将(2.3.3-5)整理成上式形式i2#i2#J(dE2(z)*(0)2-|E(z)2iE(0)i/tanh-iE(z)E(0)1丿4咒(2)znceff(2.3.3-
9、7)Ei2#、1定义倍频特征长度二次谐波光强为:E(z)=E(0)tanh，1咒(2)E(0)2(nceff11l=SH1咒(2)Eknceff1v1（0）丿(233-8)(233-9)I(z)=2182o=18cnE(0)2tanh2z2o11cnE(z)222LSH(2.3.3-10)二次谐波与入射基频波光强比值:基频光在晶体内光强为:=I(0)tanh2zLSHI(z)I2(o)1=tanh2LSHG(2.3.3-11)1=8cn2()=18cnE(0)2-E(z)2丿20112LI(z)1E(z)21(2.3.3-13)=I(0)sech21ILshg丿,=sech2z(0)l,SHG(2.3.3-14)图4基频光存在损耗条件下，倍频光和基频光光强与晶体长度关系#相干长度还可写为：SH,1(2.3.2-15)如LiNbO3晶体，非线性倍频系数d=5.4x10-9m/V,基频光波长1.064口m,eff折射率2.2,基频光光强25MW/cm2，求得倍频特征长度为3.7cm。#
