四边简支矩形层合板屈曲问题分析一、问题的描述四边简支的正交对称矩形层合板，单层厚度为0.2mm，a=800mm，b=100mm已知各单层特性：受单向压缩 E1 = 181GPa,E2 = 10.3GPa,G12 = 7.\7GPa,v 21 = 0.28求：临界载荷[0/90/90/0]二、解析解1、理论分析正交对称层合板单向受压的屈曲方程：D 竺^ + 2(D + 2D )W + D\\ dx4 \2 66 Qx2dy2 22 dy4d4w d2w 八 +N——=0dx 2由Navier法设屈曲形状为双正弦函数:« 8 . m兀 x .林 yw = 22 a sin sin —^―m=\ n =\将w代入屈曲方程求得临界屈曲荷载为：/ / 、 / 、D (mb / a)2 + 2(D + 2D )+ D" 里-兀2N = ——cr b 2\(mb / a)2由上式可知N取最小值的x方向半波数m与边长比b/ a及刚度有关2、mat lab编程求解E1=181;E2=10.3;v21=0.28;v12=E2*v21/E1;G12=7.17;%材料常数Q11=E1/(1-v12*v21);Q22=E2/(1-v12*v21);Q12=E2*v21/(1-v12*v21);Q66=G12;%正轴刚度U1_Q=(1/8)*(3*Q11+3*Q22+2*Q12+4*Q66);U2_Q=(1/2)*(Q11-Q22);U3_Q=(1/8)*(Q11+Q22-2*Q12-4*Q66);U4_Q=(1/8)*(Q11+Q22+6*Q12-4*Q66);U5_Q=(1/8)*(Q11+Q22-2*Q12+4*Q66);%单向板正轴刚度的线性组合z0=-0.4;z1=-0.2;z2=0;z3=0.2;z4=0.4;%层合板厚度方向的坐标theta1=0;theta2=pi/2;theta3=pi/2;theta4=0;%每层的铺设角h=0.8;%层合板的总厚度V1_D=(1/3)*(((z1)”3-(z0)"3)*cos(2*theta1) + ((z2)”3-(z1)"3)*cos(2*t heta2) + ((z3)”3-(z2)"3)*cos(2*theta3) + ((z4)”3-(z3)"3)*cos(2*theta4));V2_D=(1/3)*(((z1)”3-(z0)"3)*cos(4*theta1) + ((z2)”3-(z1)"3)*cos(4*t heta2) + ((z3)”3-(z2)"3)*cos(4*theta3) + ((z4)”3-(z3)"3)*cos(4*theta4));V3_D=0;V4_D=0;%层合板的几何因子D11=U1_Q*h"3/12+V1_D*U2_Q+V2_D*U3_Q;D22=U1_Q*h"3/12-V1_D*U2_Q+V2_D*U3_Q;D12二U4_Q*h"3/12-V2_D*U3_Q;D66=U5_Q*h"3/12-V2_D*U3_Q;%弯曲刚度a=0.8;b=0.1;%层合板的边长m=1;N1=p「2/b"2*(D11*(m*b/a)”2+2*(D12+2*D66)+D22/(m*b/a)”2);m=2;N2=p「2/b"2*(D11*(m*b/a)"2+2*(D12+2*D66)+D22/(m*b/a)"2);m=3;N3=p「2/b"2*(D11*(m*b/a)"2+2*(D12+2*D66)+D22/(m*b/a)"2);m=4;N4=p「2/b"2*(D11*(m*b/a)”2+2*(D12+2*D66)+D22/(m*b/a)”2);m=5;N5=p「2/b"2*(D11*(m*b/a)"2+2*(D12+2*D66)+D22/(m*b/a)"2);m=6;N6=p「2/b"2*(D11*(m*b/a)"2+2*(D12+2*D66)+D22/(m*b/a)"2);m=7;N7=p「2/b"2*(D11*(m*b/a)"2+2*(D12+2*D66)+D22/(m*b/a)"2);M=[1:7]N=[N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7]%山为半波数，N为临界荷载结果：M =12 34 56 7N =1.0e+004*8.72042.32861.19180.84930.75160.76300.8370由N可知，当半波数m=5时，最小临界载荷为7516N。
三、用ANSYS求解数值解网格划分为：160*20边界条件为：四边简支，约束分别为：x、z方向位移，y、z方向位移，z方向位移，y、z方向位移数值解最小临界载荷：7181N1 DISPLJLCEHSTITANSYSSTEP-1 SUB -1 FPEQ^YIBI I-MS -.O31B12OCT Z7 2D1L2Z ：16：33.1ST C.oMaxidixi1MINDEX OF DATASETS ONRESULTS FILESETTIME/FBEQLOAD STEPSUBGTEPCUMULATIUE171Sti-911127299-812238B33.4133=4S127.814459192-11556166?1144^.177812462.18S914497,1991316773.1101日ANSYS1DI3PLACEKENTOCT 27 201122!L5:403TEP = 1SUB -1 FREQ-7181DMX =.a31BLZ7516 - 7181751^Buckling analysis四、误差分析x 100%=4.46%，解析解与数值解的误差在5%以内，正确!。