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1、原子物理学习题解答1.1电子和光子各具有波长0.20nm,它们的动量和总能量各是多少?解:由德布罗意公式,得：12 铯的逸出功为19eV，试求:（1)铯的光电效应阈频率及阈值波长;（）如果要得到能量为1.5eV的光电子，必须使用多大波长的光照射？解:（1)由爱因斯坦光电效应公式知,铯的光电效应阈频率为:阈值波长: （）故: .3 室温(300K)下的中子称为热中子.求热中子的德布罗意波长?解：中子与周边处在热平衡时，平均动能为:其方均根速率: 由德布罗意公式得：1.4 若一种电子的动能等于它的静止能量,试求：(）该电子的速度为多大?(2)其相应的德布罗意波长是多少？解：（1)由题意知，因此 （
2、2)由德布罗意公式得: .(1)试证明: 一种粒子的康普顿波长与其德布罗意波长之比等于，式中和分别是粒子的静止能量和运动粒子的总能量.(2)当电子的动能为什么值时,它的德布罗意波长等于它的康普顿波长?（1）证明：粒子的康普顿波长:德布罗意波长: 因此, ()解：当时，有，即：故电子的动能为：.6 一原子的激发态发射波长为60n的光谱线,测得波长的精度为，试问该原子态的寿命为多长?解： 由海森伯不拟定关系得：1.7 一种光子的波长为300n，如果测定此波长精确度为.试求此光子位置的不拟定量.解: ，或:由海森伯不拟定关系得:2.1按汤姆逊的原子模型,正电荷以均匀密度分布在半径为R的球体内。(1)
3、 设原子内仅有一种电子,试证该电子(电量为-e）在球体内的运动是以球心为平衡位置的简谐振动; (2） 设正电荷的总量等于一种电子的电量,且,试求电子振动频率及由此辐射出的光子的波长解:(1） 电子所受库仑引力为: ,由于 ， 因此 由此可知，电子的运动是以球心为平衡位置的简谐振动.(） 当=1，m时, 振动频率 辐射出的光子波长：2.2 当一束能量为4.8MeV的粒子垂直入射到厚度为m的金箔上时,探测器沿2方向每秒纪录到个粒子.试求: （）仅变化探测器安顿方位,沿60方向每秒可纪录到多少个粒子?(）若粒子能量减少一半,则沿20方向每秒可测得多少个粒子?(3) 粒子能量仍为48MeV，而将金箔换
4、成厚度相似的铝箔，则沿20方向每秒可纪录到多少个粒子?（金和铝的密度分别为1.g/和2.7/cm3，原子量分别为197和27,原子序数分别为79和3忽视核的反冲）.解:由公式, () 当时, 每秒可纪录到的粒子满足:故 (个)（2) 由于，因此 （个)(3)由于,故这时:(个)2.3 动能为e的粒子和静止的铅核(2)作对心碰撞时的最小距离是多少？解:由公式: ，当对心碰撞时,则2.4 动能为0.e的质子接近静止的汞核(Z80),当散射角时,它们之间的最小距离是多少？解:最小距离为:2.5 试证明粒子散射中粒子与原子核对心碰撞时两者间的最小距离是散射角为90时相相应的瞄准距离的两倍。证明:由库仑
5、散射公式：,当时,这时而对心碰撞的最小距离: 证毕。2.6已知氢的赖曼系、巴尔末系和帕邢系的第一条谱线的波长分别为:12.6nm,56.3和1875nm.由此还可以求出哪些系的哪几条谱线来?它们的波长各为多少?解: 由题意知: (1) （2) ()由()+(2)式得: 由（)+(）+（)式得: 由()（3)式得: 其中，和分别是赖曼系第二、三条谱线; 是巴尔末系第二条谱线2.7 试由氢原子里德伯常数计算基态氢原子的电离电势和第一激发电势.解: 电子经电势差为U的电场加速后,若它得到的动能所有被原子吸取恰能使处在基态的原子电离,则称为该原子的电离电势;若它得到的动能所有被原子吸取恰能使处在基态的
6、原子激发到第一激发态,则U称为该原子的第一激发电势.由 , ，对于基态氢原子, Z=1, 由 得电离电势为13.4V由 得第一激发电势为1.23V.8 对于氢原子、一次电离的氦离子He+和两次电离的锂离子L2+,分别计算它们的：（）第一、第二玻尔轨道半径及电子在这些轨道上的速度;(2）电子在基态的结合能；（3）第一激发电势及共振线的波长。解：(1）He+:(m/s)（m/s）Li2+：(/s)(/s)(2）电子在基态的结合能等于把电子从基态电离所需要的能量：对于He+有:（)对于L2+有：(e)(）对于He+有：(eV)因此的第一激发电势为408V对于L2+有：（eV)因此+的第一激发电势为1
7、.8V.共振线波长:2. 能量为126V的电子射入氢原子气体中，气体将发出哪些波长的辐射？解：由,得，,，而，,但,因此气体将发出如下三种波长的辐射:2.11 一次电离的氦离子He+从第一激发态向基态跃迁时所辐射的光子，能使处在基态的氢原子电离，从而放出电子,试求该电子的速度。解:H+所辐射的光子能量：氢原子电离所需要的能量为，因此,放出的电子动能为,速度为: m/s.2 已知动能为1.eV的电子正好使某类氢离子由基态激发至第一激发态,试问该类氢离子是什么?现以动能为110eV的电子激发该基态离子,试问可得到几条谱线?这些谱线的波长各为多少?(不考虑精细构造)解: 由,得：因此该类氢离子是i2
8、+. 由于和,因此动能为110eV的电子能将L2+激发至n=3的激发态,可得三条谱线,波长分别为:2.13子是一种基本粒子,除静止质量为电子质量的20倍外，其他性质与电子同样当它运动速度较慢时,被质子俘获形成子原子试计算: (1）子原子的第一玻尔轨道半径;(） 子原子的最低能量;(3） 子原子赖曼线系中的最短波长解: 由于折和质量(1) () (3)赖曼线系中的最短波长为:2.14 已知氢和重氢的里德伯常数之比为0.9728,而它们的核质量之比为mH/mD=0.5020.计算质子质量与电子质量之比.解: 由和知:解得： 2.5 当静止的氢原子从第一激发态向基态跃迁放出一种光子时,(1)试求这个
9、氢原子所获得的反冲速度是多大?(2)试估计氢原子的反冲能量与所发光子能量之比.解: (1) 放出的光子的动量: 由动量守恒定律得氢原子的反冲速度为： (2) 反冲能量 显然 可见反冲能量是可以忽视不计的.2.1 试证明氢原子稳定轨道上正好能容纳整数个电子的德布罗意波波长,不管这稳定轨道是圆形还是椭圆形的.证明: 轨道量子化条件是：对氢原子圆轨道来说，因此有：因此,氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波长。椭圆轨道的量子化条件是:其中而 2 一粒子在一维无限深势井中运动，已给，求归一化常数；又若,=?,粒子在何处几率最大？解:由归一化条件，在粒子也许浮现的空间发现粒子的总几率等于，因
10、此：得: .同理,若，由归一化条件可得:则 ， 粒子浮现几率最大处相应:,有 易求得 (由波函数的持续性，x0,或x=a两个解舍去）因此，粒子在处浮现的几率最大.4.已知锂原子光谱主线系最长波长,辅线系系限波长,求锂原子第一激发电势和电离电势。解:主线系最长波长的谱线相应跃迁为pg2s,有:而辅线系系限相应，因此得：第一激发电势为电离电势为.2 钠原子基态为3s，已知其主线系第一条线（共振线)波长为5896n，漫线系第一条线的波长为819nm，基线系第一条线的波长为14.9nm,主线系的系限波长为21.nm，试求，3P,3D,4F各谱项的项值。解：由题意知：由 得:由得： 又由 得: 43钾原
11、子共振线波长为766.m,主线系系线波长为25nm，已知钾原子基态为4，试求S，4P谱项的量子数亏损、各为多少？解：由 得:又由得：44 处在D激发态的锂原子,向低能级跃迁时可产生哪些光谱线？在能级图上表达出来:(1)不考虑精细构造；（）考虑精细构造。解:()不考虑精细构造时，如图(a)所示。32S1/222S1/222P3/222P1/232P3/232P1/232D5/232D3/2(2)考虑精细构造时,如图(b）所示。2S2P3S3P3D(图a） (图b)4为什么S谱项的精细构造总是单层的?试直接从碱金属光谱双线的规律性和从电子自旋与轨道互相作用的物理概念两方面分别阐明之.答: (1)
12、从碱金属光谱双线的规律性(课本p.17.图4.3.)来看,第二辅线系的每一条线中二成分的间隔既然相似,那就必然是由于同一因素.我们懂得这个线系是诸S能级到最低能级的跃迁产生的，因此,最低能级是这线系中诸线共同有关的.如果我们设想这个能级是双层的,而能级都是单层的，就会得到与第二辅线系双线规律性一致的结论.再看主线系的每条线中二成分的波数差随着波数的增长逐渐减少,足见不是一种来源.我们懂得,主线系是诸能级跃迁到最低S能级的成果,从第二辅线系的状况已推得S能级是单层的,最低P能级是双层的，那么与否可以推想所有P能级都是双层的,并且这双层的间隔随量子数n的增长而逐渐缩小,这个推论完全符合主线系的状况
13、.这样我们从碱金属光谱双线的规律性直接推得谱项的精细构造总是单层构造.(2） 从电子自旋与轨道互相作用来看,由于S态的电子轨道角动量为0,总角动量就等于电子的自旋角动量,能级不分裂,故谱项项的精细构造总是单层构造4. 钠原子共振线的双线波长分别为89nm和589.6nm，试求3P能级精细构造的裂距。解：7 钠原子光谱主线系短波限的波长为4.nm,主线系最长波长为596m，求钠原子基态能量和辅线系短波限。解：由题意知 ， 则:基态能量 辅线系短波限 n=2n=112S1/2l=0l=122S1/222P1/222P3/2III 得:4.试计算氢原子赖曼线系第一条谱线的精细构造分裂的波长差。解：如右图示，赖曼线系第一条谱线的两条分线为 ，由能级公式 （,)4.9已知斯特恩盖拉赫实验中，如基态氢原子在磁场中速度=14m/s,磁场纵向范畴L=0cm。见课本图4.4.3,求裂距S.解:从碱金属原子光谱可知，自旋与轨道角动量互相作用,合成总角动量量子数j取值为:j+s,+s1,
