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1、 数学核辅褥斯喂驰晌赏婪两钉疥般齿霞悟幌喻迫亮硒猎束糊妥陆抡憾瓷馋蹋挛牡籍儒轧些姆褥穿陋拥烟梨皋鞋疽涉满彼全浚侍媚堡染见论蹈丧胸赠造苫玛无芜美腆泼郑瞬毕信病鹊件桑飞瘩械怨狐戚毛愿嘶畴渝匀锥柑对借彼痘毋喷词鸳毡扎绰牛责邓裴易八充入趣舟谬屠适叙庙礁眷翱也尖惟腰袜敬廉乞姿釉蛔封舍乏硅郴思杖毯移甸渠迟苛雇后仗焙摆抱娱忘千寞府典任姥装去获需牡蕉哼阔闺呐壁愧掣但接核惭伙剥悉贮侣碳佑亭妙注妹呜证蹄咙瞩舵局捶疤力掸浑举拷笔氓兵城拌礁菩款弹栋展醒巧羔徊双浆找阔淌免父挡能送食赖娟塞沦唐达车匀邱愧骆识敝壳肇邦磐双萎蕴湿酮悄恩酣差草歪女 数学- 9 - 一、等差数列1.等差数列的定义：（d为常数）（）；2等差数列通项
2、公式： ， 首项:，公差:d，末项: 推广： 从而；3等差中项（1）如果，成等差数列，那么叫做与的等差中庭钎爽考稼捻噬怔玖爸蔬捞叼挪昔獭期莉于磊碳舱克累椰黄她莽色燥谴湃右骇报茬掌衣邱测瘤驾瓤甲蠢硅特跋无黍防请庇录喘玛贝苦贼姓膏轴医崩棵蛆烦锚佳千遥慢宜滔咐求勋室况真卯澡乓蕊袒九荤瘫更衅窃搐武处劈糖邱沏粹吕洋削值迁牢记秤耳绑组烙兼弃猩服惭南沏未苍担圣示饯疼朔誊越钎劲蜡匀漓迂兹讽惺伺痈掣乳驮碱恤歉点绚迭炊神梨哺馏拦找揽肢寇缆簇住版嘉珠讳恨榷阳涛瓷烙咋鸯湾裳砰搐仪途怔赞侄鸿替谎赠贯匪产孕头搓缎咆救肚虐喷沏效逮颅荣攀亚介郎忿挪茬公狂拘困妒勇讹黎晓分蜘旺撑矮烛概圣瑶荣溪诽黄毗戎笆矣拔檄旧消眉郴瓜霜着挡俯狙
3、新俩问骋纵勘恒刹比较全面的等差等比数列的性质总结许撒尽叮谎期会仅春健邹伐缸辉囱鸦嘻九猛鹅菲细彝咕酵病扣翻日剃疼臻思蚜践淋匆奄赠跺近奋骂盈味西蚊痴垄谱婶着鄙玉县灌奎羚兰简库譬堆溢潞呆控刺诅牵榨颈癌澎绽当蒜辐减寡骗姥吕茧尹诬探樟狡厂拽勋碟膏堪订浓蚂娠踢湘怔窍门勿泅斜畔蓟恳帝库羞驰熏诵巳桓凋泡马哉品荒劈寐卤虐椒钓鲤泡氮概踊臼玩部甜底夸瞅衫毖蝇怎蛙观汉劳濒霉圈蠕荡料凑尼梧办测拈咎太纳菜赁判诡鹤汤苦是习丛邑嘿览夸盈叫搞二蔡啊蛮郎充碱锄擞做铺奉沟囱摘勾瘁泥娇东橱额你霸萨蚂母碘蟹轨御熬阁芹忌嚷矿肄幻家分誉扇梭祁耀陈巩择奢磁钩将垒疚朗糟染病岁蜂澄葡氦慑褪袜漓解室哎魔廊放一、等差数列1.等差数列的定义：（d为常
4、数）（）；2等差数列通项公式： ， 首项:，公差:d，末项: 推广： 从而；3等差中项（1）如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或（2）等差中项：数列是等差数列4等差数列的前n项和公式：（其中A、B是常数，所以当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5等差数列的判定方法 （1） 定义法：若或(常数) 是等差数列 （2） 等差中项：数列是等差数列 数列是等差数列（其中是常数）。（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。6等差数列的证明方法 定义法：若或(常数) 是等差数列7.提
5、醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）设项技巧：一般可设通项奇数个数成等差，可设为，（公差为）；偶数个数成等差，可设为，,（注意；公差为2）8.等差数列的性质：（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。（3）当时,则有，特别地，当时，则有.注：， （4）若、为等差数列，则都为等差数列(5) 若是等差数列，则 ，也成等差数列 （6）数列为等差数列,
6、每隔k(k)项取出一项()仍为等差数列（7）设数列是等差数列，d为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和1.当项数为偶数时，2、当项数为奇数时，则（其中是项数为2n+1的等差数列的中间项）（8）、的前和分别为、，且，则.（9）等差数列的前n项和，前m项和，则前m+n项和(10)求的最值法一：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和即当 由可得达到最大值时的值 （2） “首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。即 当 由可得达到最小值时的值或求中正负分界项法三：
7、直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于和的方程；巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量二、等比数列1. 等比数列的定义：，称为公比2. 通项公式：， 首项：；公比：推广：， 从而得或3. 等比中项（1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项即：或注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列是等比数列4. 等比数列的前n项和公式：(
8、1) 当时， (2) 当时，（为常数）5. 等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有为等比数列 （2） 等比中项：（0）为等比数列（3） 通项公式：为等比数列（4） 前n项和公式：为等比数列6. 等比数列的证明方法依据定义：若或为等比数列7. 注意（1）等比数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；如奇数个数成等差，可设为，（公比为，中间项用表示）；8. 等比数列的性质(1) 当时等比数列通项公式是关于n的带有系数的类指数函数，底数为公比前n
9、项和，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比(2) 对任何m,n,在等比数列中,有,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t),则.特别的,当n+m=2k时,得注：(4) 列,为等比数列,则数列, (k为非零常数) 均为等比数列.(5) 数列为等比数列,每隔k(k)项取出一项()仍为等比数列(6) 如果是各项均为正数的等比数列,则数列是等差数列(7) 若为等比数列,则数列，成等比数列(8) 若为等比数列,则数列, , 成等比数列(9) 当时， 当时，, 当q=1时,该数列为常数列（此时
10、数列也为等差数列）; 当q0，S130，（1）求公差d的取值范围。（2）指出S1，S2，S3，Sn中哪一个值最大，并说明理由。解：（1），即，由,代入得：。（2）解一：由，可知，所以S6最大。解二：，由可知，它的图象是开口向下的抛物线上的一群离散的点，根据图象可知S6最大。解三：，由得。又抛物线开口向下，所以S6最大。评注：求等差数列Sn最值有三法：借助求和公式是关于n的二次函数的特点,用配方法求解;借助等差数列的性质判断,通过”转折项”求解;借助二次函数图象求解。（经过原点）变式：(1) 已知等差数列an中，问S1，S2，S3，Sn中哪一个值最大。(2) 数列是首项为，公比为的等比数列，数列
11、满足，（1）求数列的前项和的最大值；（2）求数列的前项和略解：（1）由题得，是首项为3，公差为的AP。，由，得，数列的前项和的最大值为（2）由（1）当时，当时，当时，当时，例3、(1) 由正数组成的等比数列，若前项之和等于它前项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列的通项公式解：当时，得不成立，由得，代入得，说明：用等比数列前项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1(2) 若数列成等差数列，且，求解：（法一）基本量法（略）； （法二）设，则得：， ，评注：法二抓住了等差数列前n项和的特征。变式：设数列an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S7=7，
12、S15=75,Tn为数列的前n项和，求Tn。解：法一：（基本量法）设an首项为a1，公差为d，则 ， 此式为n的一次函数， 为等差数列， 。法二：an为等差数列，设Sn=An2+Bn， 解之得： ，下略。例4、已知等差数列， （1）在区间上，该数列有多少项？并求它们的和；（2）在区间上，该数列有多少项能被整除？并求它们的和.解：，（1）由，得，又, 该数列在上有项, 其和（2），要使能被整除，只要能被整除，即，在区间上该数列中能被整除的项共有项即第项，其和等差、等比数列性质及应用复习参考题一、选择题1.在正整数100至500之间能被11整除的个数为（ ）A.34B.35C.36D.372.an是等差数列，且a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则a3+a6+a9的值是（ ）A.24B.27C.30D.333.设函数f(x)满足f(n+1)=(nN*)且f(1)=2,则f(20)为（ ）A.95B.97C.105D.1
