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1、思维方法类比法 类比是通过两个(或两类)对象的比较，找出它们在某一方面(特征、属性和关系)的类似点，从而把其中一对象的其他有关性质，移植到另一对象中去因此，类比推理是从特殊到特殊的思维方法在解析几何中，类比法是编制新命题、发现新定理以及开拓解题思路的重要方法解析几何的研究对象是直线、圆和圆锥曲线，因此，在圆、椭圆、双曲线、抛物线之间相互类比，是类比推理的主要内容例1 对圆x2y2=r2，由直径上的圆周角是直角出发，可得：若AB是O的直径，M是O上一点(异于A、是否有类似的结论？标分别为(x1，y1)、(-x1，-y1)，又设点M(x0，y0)是这个椭圆上一点，且x0x1，则以上两式相减，得于是
2、、两式就是椭圆、双曲线与圆类似的结论【解说】 (1)与圆类似，连结圆锥曲线上两点的线段叫做圆锥曲线的弦，过有心曲线(椭圆、双曲线)中心的弦叫做有心曲线的直径；(2)因为抛物线不是有心曲线，所以抛物线没有与圆的这个性质相类似的结论ab)类似的命题是什么？【分析】 由习题11第5题，我们知道了椭圆这个命题的证明方法，用类似的方法，我们来寻找双曲线的有关命题比较两个标准方由+，得于是，我们得到与椭圆类似的正确命题： 习题14 1对圆x2y2=r2，由过弦AB(非直径)中点M的直径垂直于此(a0，b0)类似的结果是什么？并证明你的结论1)，一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则|AB|=|CD|
3、双曲线类似的命题是什么？并加以证明 习题14答案或提示 1若AB是椭圆、双曲线的弦(非直径)，M是AB的中点，则对一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则|AB|=|CD|思维方法求异思维 所谓求异思维是一种不依常规、寻求变异、从多方面探索答案的思维形式求异思维又叫发散思维，它具有不落俗套、标新立异、不拘一格的特点因此，用求异思维解题有利于培养思维的多向性、灵活性和独特性在平面解析几何中，培养学生的求异思维能力，要注意以下几个方面(一)变换思维方向解证解析几何习题，常常会出现“思路自然、运算麻烦”的局面，甚至会到“山穷水尽疑无路”的地步这时，若能变换思维角度，多方位思考，多渠道辟径，就会超
4、过思维障碍，呈现“柳暗花明又一村”的美景例1 已知点A(1，-1)、B(7，2)，以A为圆心、8为半径作A，以B为圆心，6为半径作B，求这两个圆外公切线交点P的坐标【分析】 如图14解本题的自然思路是，先求出两条外公切线的方程，再解方程求出交点坐标但这种解法是入手容易出手难，由于运算量过大，使思维陷入困境如果能换一个角度思考，联想到公切径之比)，那么便可用线段定比分点公式，使问题获得巧解【解】 如图14，设M、N是一条外公切线与两个圆的切点，连结AB、BP，则A、B、P三点共线，再连结AM、BN，则AMMP、BNMP BNAM设点P的坐标为(x，y)，则由线段定比分点公式，得故点P的坐标为(2
5、5，11)例2 如图15，直线y=kxb与圆x2+y2=1交于B、C两点，与双曲线x2-y2=1交于A、D两点，若B、C恰好是线段AD的三等分点，求k与b的值【分析】 如图15，解本题的自然思路是，由|AB|=|BC|=|CD|入手，先计算出|AB|、|BC|、|CD|(即用k、b表示)，然后解方程组求得k、b的值但由于线段AB、CD的端点不在同一曲线上，从而上述解法运算相当麻烦如果变换思考角度，由|AB|=|CD|出发，可得线段BC与AD的中点重合，进而可用韦达定理，列出k、b的一个关系式，再【解】 如图15，把y=kx+b代入x2-y2=1中，整理，得(1+k2)x2+2bkx+b2-1=
6、0 从而 由韦达定理，得把y=kx+b代入x2-y2=1中，整理，得(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0 |AB|=|CD|， AD与BC的中点重点解之，得k=0或b=0当k=0时，方程化为x2=1-b2，(二)一题多解在解析几何中，进行一题多解训练是培养求异思维能力的一种极好形式例3 已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A(-1，0)和点B(0，8)关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程(1994年全国高考理科试题)【分析1】 设直线l的方程为y=kx，抛物线C的方程为y2=2px(p0)，先求出A、B关于l对称的点A、B的坐标(用k表示)，
7、再代入抛物线C的方程中，可得k、p的方程组，最后解方程组即可【解法1】 如图16由已知可设抛物线C的方程为y2=2px(p0)由于直线l不与两坐标轴重合，故可设l的方程为ykx(k0) 设A、B分别是A、B关于l的对称点，则由 AAl可得 直线AA的方程为将、联立，解得线段AA的中点M的坐标为分别把A、B的坐标代入抛物线C的方程中，得由，消去p，整理，得k2-k-1=0 又由知k0 【分析2】 如图17，设直线l的倾斜角为，则l的斜率为用的三角函数表示点A、B的坐标，再把这些坐标用k表示，以下同解法1l的斜率为k |OA|=|OA|=1，|OB|=|OB|=8，xOA=-(-2)， 由三角函数
8、的定义，得A的坐标为xA=|OA|cosxOA=-cos2，yA=|OA|sinxOA=-sin2以下同解法1，从略又|OB|=8，|OA|=1，从而此题可设极坐标方程去解【解法3】 如图17，以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系，把x=cos代入方程y2=2px(p0)中，得抛物线的坐标方程为由已知可设点B的极坐标为(8，)、A的极坐标为(1， 直线l平分BOB，=8，OAOB列出p、t1、t2的方程组，进而去求解 |OA|=|OA|=1，|OB|=|OB|=8，又由OAOB，得kOAkOB=-1，【分析5】 如图17，由于|OA|=1，|OB|=8，A【解法5】 如图17把直角坐标系视为复平
9、面，设点A 得点B对应的复数为(x1y1i)8i=-8y1+8x1i 点A、B的坐标为(x1，y1)、(-8y1，8x1)把它们分别代入抛物线C的方程y2=2px(p0)中，得即kOA=-2，又|OA|=1，以下同解法4，从略【分析6】 本题也可以把抛物线的参数方程与复数法结合起来去解数乘法的几何意义，得由复数相等的条件，得消去p，解得t2=2从而B的坐标为(8p，4p)线段BB的中点C的坐标为(4p，2p4)，【分析7】 在解法5中，利用复数乘法的几何意义，发现了A、B坐标之间的关系式，从而获得简解如图18，点B与点A的坐标关系也可用平面几何法得到【解法7】 如图18，作ACOx于C，BDO
10、x于D设A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2) BODAOC=90， RtACORtODB又|OA|1，|OB|=8， |OD|8|AC|，|BD|8|OC|于是x2=-8y1，y2=8x1以下同解法5，从略【解说】 本例给出了七种解法解法1是本题的一般解法，它的关键是求点A、B关于l的对称点的坐标解法2是三角法，它法3是极坐标法，巧妙利用了A、B的特殊位置解法4是利用抛物线的参数方程去解的解法5和解法7是从寻找A、B的坐标关系式入手的，分别用复数法和相似形法获解解法6把参数法与复数法结合起来，体现了思维的灵活性总之，本例运用了解析几何的多种方法，是对学生进行求异思维训练的极好例题(
11、三)逆向思维在人们的思维活动中，如果把AB的思维过程看作正向思维的话，那么就把与之相反的思维过程BA叫做逆向思维在平常的学习中，人们习惯于正向思维，而不善长逆向思维因此，为了培养思维的多向性和灵活性，就必须加强逆向思维训练在解题遇到困难时，若能灵活地进行逆向思维，往往出奇制胜，获得巧解在解析几何中，培养学生逆向思维能力，要注意逆用解析式的几何意义、逆用曲线与方程的概念和逆用圆锥曲线的定义例4 设a、b是两个实数，A=(x，y)|x=n，y=nab，nZ，B=(x，y)|x=m，y=3(m25)，mZ，C=(x，y)|x2y2144是平面xOy内的点焦，讨论是否存在a和b，使得：(1)ABf；(
12、2)(a，b)C(1985年全国高考理科试题)【解】 由已知可得，a、b是否存在等价于混合组以上二式的几何意义是：如图19，在平面aOb中，nab=3(n25)是直线，a2b2144是圆面(即圆x2y2=144的边界及其内部)因此，这个混合组有解的充要条件是直线nab=3(n2+5)与圆a2b2=144有公共点，即圆心O(0，0)到这条直线的距离d12即(n25)216(n2+1)， n4-6n2+90，即(n2-3)20又(n2-3)20， n2=3这与n是整数矛盾故满足题中两个条件的实数a、b不存在【解说】 这种解法中，把混合组翻译成几何语言(直线和圆面是否有公共点)就是解析法的逆向思维教学实践表明，学生普遍认为这种解法难想，其实，“难就难在逆向思维”，普遍认为这种解法巧妙，其实，“巧就巧在逆向思维” 习题12 1已知圆C1：(x1)2(y-2)2=4与圆C2：(x-3)2+(y-4)2=25，求它们外公切线交点P的坐标2已知直线l过点P(1，4)，求它在两坐标轴正向截距之和最小时的方程(要求至少5种解法)(要求至少4种证法)(1992年全国高考理科试题)4长度为3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标(要求至少4种解法)
