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1、向量知 识点归纳与常见题型总结高三理科数学组全体成员一、向量知识点归纳1与向量概念有关的问题向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小. 记号“ a b ”错了，而 | a | | b | 才有意义 .有些向量与起点有关，有些向量与起点无关. 由于一切向量有其共性（大小和方向） ，故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）. 当遇到与起点有关向量时，可平移向量.平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件 .单位向量是模为1 的向量，其坐标表示为（x, y ）
2、, 其中 x 、 y 满足 x2y2 1（可用（ cos,sin）（ 0 2）表示） . 特别： AB 表示与 AB 同向的单位向量。uuuruuur|AB|例如：向量 (ABAC)(0) 所在直线过ABC 的内心 ( 是BAC 的角平分线所在uuuruuur|AB|AC|直线)；uuuruuuruuuruuur(ABAC0,).例 1、O是平面上一个定点， A、B、C不共线，P 满足 OPOAuuuruuuur )|AB| AC则点 P 的轨迹一定通过三角形的内心。1AB+ACABAC=, 则 ABC为 ( )(变式 )已知非零向量 AB 与 AC 满足 ()BC =0 且2|AB |AC
3、|AB |AC |A. 三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形(06 陕西 ) 0 的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0 仅仅是一个无方向的实数 .有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段.（ 7）相反向量 ( 长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是 a 。 )2与向量运算有关的问题向量与向量相加，其和仍是一个向量. （三角形法则和平行四边形法则）当两个向量 a 和 b 不共线时， ab 的方向与 a 、b 都不相同， 且 | ab | |a | |b | ；当两个向量 a 和 b 共线且同向时， ab 、a 、b 的方向都
4、相同， 且 | ab | a | b | ；当向量 a 和 b 反向时，若 | a | |b |， ab 与 a 方向相同，且 |ab |=|a |-|b | ；若 | a | |b | 时 , a b 与 b方向相同，且 |a b |=|b |-|a |.向量与向量相减，其差仍是一个向量. 向量减法的实质是加法的逆运算.三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。AB BCAC;ABACCB1例 2： P 是三角形 ABC内任一点，若 CBPAPB,R ，则 P 一定在（）A 、ABC 内部2B、 AC 边所在的直线上C 、AB 边上D、 BC 边上例 3、若0
5、，则 ABC是： A.RtAB BCAB B. 锐角 C. 钝角 D. 等腰 Rt特别的： a babab ,例 4、已知向量 a(cos, sin), b (3,1)，求 | 2ab | 的最大值。分析：通过向量的坐标运算，转化为函数（这里是三角）的最值问题，是通法。解：原式 = | (2 cos3,2sin1) |(2 cos3) 2(2 sin1) 2= 8 8sin() 。当且仅当2k5(kZ ) 时， | 2ab | 有最大值 4.63评析： 其实此类问题运用一个重要的向量不等式“ | a | b | | ab | a | b |”就显得简洁明快。原式| 2a | b |= 2 |
6、a | b |2124 ，但要注意等号成立的条件（向量同向）。围成一周（首尾相接）的向量（有向线段表示）的和为零向量.如， ABBC CA0, （在 ABC中）ABBC CDDA0.( ABCD中 )判定两向量共线的注意事项：共线向量定理对空间任意两个向量a、 b(b 0 ) ， ab 存在实数使 a= b如果两个非零向量 a ， b ，使 a = b （ R），那么 a b ；反之，如 a b ，且 b 0，那么 a = b .这里在 “反之” 中，没有指出 a 是非零向量， 其原因为 a =0 时，与 b 的方向规定为平行 . 数量积的 8 个重要性质两向量的夹角为0 . 由于向量数量积的
7、几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数.设 a 、 b 都是非零向量，e是单位向量，是 a 与 b 的夹角，则ea ae| a |cos.( | e |1) abab 0 （=90， cos0)在实数运算中ab =0a =0 或 b=0. 而在向量运算中a b = 0a = 0 或 b = 0 是错误的，故 a0 或 b0 是 ab =0 的充分而不必要条件 .当 a 与 b 同向时 a b = | a | | b |(=0,cos=1);当 a 与 b 反向时，a b=- | a |,cos=-1)，即 a b 的另一个充要
8、条件是| b |( =rr| a b | a | b |. 当r r为锐角时， a ? b 0，且 a、b 不同向， a b0 是为锐角的必要r rr r0 是非充分条件 ；当 为钝角时， a ? b 0，且 a、b 不反向， a b为钝角的必要非充分条件 ；例 5. 如已知 a( ,2) ， b (3,2) ，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则的取值范围是2_（答：40且1或）；33例 6、已知 i , j 为相互垂直的单位向量，ai2 j ，bij 。且 a 与 b 的夹角为锐角，求实数的取值范围。分析：由数量积的定义易得“a, bab0 ”，但要注意问题的等价性。解：由 a 与 b 的夹
9、角为锐角，得a b120. 有1 .t12而当 at b(t0), 即两向量同向共线时，有2.此时其夹角不为锐角。t得2故,22, 1.2评析：特别提醒的是：a,b是锐角与 a b0 不等价； 同样a, b是钝角与 a b 0不等价。极易疏忽特例“共线”。特殊情况有 a a22aa2x2y 2 .a = | a | 。或 | a | = a =如 果 表 示 向 量 a的 有 向 线 段 的 起 点 和 终 点 的 坐 标 分 别 为 ( x1 ,y1 ),( x2 , y2 ), 则| a | =( x1x2 ) 2( y1y2 ) 2 | ab | | a | | b |。（因cos1）数量积不适合乘法结合律.如 (a b) c a (b c). （因为 (a b) c 与 c 共线，而 a (b c) 与 a 共线）数量积的消去律不成立.若 a 、 b 、 c 是非零向量且 a cbc 并不能得到 ab 这是因为向量不能作除数，即 1是无意义的 .c(6) 向量 b 在 a 方向上的投影 b cos aba(7)e1 和 e2 是平面一组基底 , 则该平面任一向量a1 e12 e2 ( 1, 2 唯一 )uuuruuur1是三点 P、 A、 B 共线的充要条件 .特别： . OP 1OA2OB则 12注意：起点相同，系数和是1。基底一定不共线
