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1、四边形知识与题型总结.本章知识要求和结构1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，了解它们之间的内在关系 .1）演变关系图：（2）从属关系（依据演变关系图，将四边形，平行四边形，梯形，矩形，菱形，正方形， 等腰梯形，直角梯形填入下面的从属关系图中， 其中每一个圆代表一种图形）2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性质和常用判别方法，并能运用这些知识进行有关的证明和计算名称平行四边形矩形菱形正方形定义的四边形是平行四边形的平行四边形是矩形的平行四边形是 菱形的平行四边形是正方形边性角质对 角 线判边角定对 角 线面 积周 长3. （ 1）平行四边形的面积等于它
2、的底和该底上的高的积如图 1，S ABCD =BCAE=CDBF图2F图1（2）同底 （等底 ）同高（等高）的平行四边形面积相等 .如图 2，S ABCD = S BCFE4. 三角形中位线定理定义 : 叫做三角形中位线 （与中线的区分） ; 定理:作用 :可以证明两条直线平行 ;线段的相等或倍分 .拓展 :三角形共有三条中位线，并且它们将原三角形分割成四个的小三角形， 其面积和周长分别为原三角形面积和周长的 和 ;（4）直角三角形的性质定理 : 直角三角形斜边上的中线5.正方形：（1）对角线：若正方形的边长为 a，则对角线的长为2a正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两个端点的距离相等
3、3）面积：正方形的面积等于边长的平方; 等于两条对角线的乘积的一半周长相等的四边形中， 正方形的面积最大 .6. 梯形的中位线1）定义 :连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线2）梯形的中位线定理 : 梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半13）梯形的面积 S=12 （上底+下底） 高=中位线 高7.几种特殊四边形的对角线 矩形对角线交角为 60 （120 ）时 ,可得： 等边三角形和含 30 角直角三角形 菱形有一个角为 60 时 , 可得：含 30 角的四个全等直角三角形 正方形中可得：四大四小等腰直角三角形 对角线互相垂直的梯形 平移腰可得：双垂图（图） 对角线互相垂直的等腰梯形可得
4、：等腰直角三角形图）8. 中点四边形 : (顶点为各边的中点，需讨论对角线 & 中位线)(1) 顺次连结任意四边形各边中点构成的四边形是 (2) 顺次连结对角线相等的四边形的各边中点 , 构成的四边形是 (3) 顺次连结对角线互相垂直的四边形的各边中点构成的四边形是 (4) 顺次连结平行四边形各边中点构成的四边形是 顺次连结矩形各边中点构成的四边形是 顺次连结菱形各边中点构成的四边形是 顺次连结直角梯形各边中点构成的四边形是 顺次连结等腰梯形各边中点构成的四边形是 典型题型归纳一)概念题1ABCD 中， A 的平分线分 BC 成 4cm 和 3cm 两条线段，则 ABCD 的周长为 2在ABC
5、D 中， C=60 o,DE AB 于 E,DF BC 于 F1)则 EDF=；2)如图，若 AE=4 ，CF=7， 则ABCD 周长 =(3) 若 AE=3 ，CF=7，请作出对应图形，并求ABCD 周长3(1)在平行四边形 ABCD 中，若 C=B+ D，则 A= .(2)已知在ABCD ,A 比B 小20o，则 C 的度数是(3) 在ABCD 中，周长为 100cm，AB-BC=20cm ，则 AB=BC=cm.4)在ABCD 中，周长为 30cm，且 AB ：BC=3 ：2，则 AB=DC5)(2007 河北省)如图， 若ABCD 与 EBCF 关于 BC 所在直线对称， ABE90，
6、则 F 4( 2007 福建福州)下列命题中，错误的是()A矩形的对角线互相平分且相等B对角线互相垂直的四边形是菱形C等腰梯形的两条对角线相等D等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等5. （ 2007 浙江义乌）在下列命题中，正确的是（ A一组对边平行的四边形是平行四边形 B有一个角是直角的四边形是矩形C有一组邻边相等的平行四边形是菱形D对角线互相垂直平分的四边形是正方形6（. 2007 甘肃陇南） 顺次连结任意四边形各边中点所得四边形一定是（ ）A 平行四边形B菱形C矩形7.（ 2007 四川眉山）下列命题中的假命题是 （ ）A 一组邻边相等的平行四边形是菱形B一组邻边相等的矩形是正方形C
7、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形8.（ 2007 四川成都）下列命题中，真命题是（）两条对角线相等的四边形是矩形两条对角线互相垂直的四边形是菱形 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形D正方形9.（ 2007 浙江嘉兴）如图，在菱形 ABCD 中，不一定成立的（ ） ABCD AC BD 等边 ABD CAB CAD二）图形的性质和判定方法10如图，已知四边形 ABCD 是正方形，分别过 A、C 两点作 1/ 2，作断四边形 PQMN 的形状BM 2于M，DN 2于N，直线 MB、ND 分别交 1、 2
8、于Q、P，试判11如图，在正方形 ABCD 中，E、F、G、H 分别为正方形边上的点，而且 AE=BF=CG=DH ，求证：四边形EFGH 为正方形12如图，在矩形 ABCD 中， E 是 CD 边上一点AE=AB ， AB=2AD ，求 EBC 的度数三） 转化的思想将梯形问题通过化归、分割、拼接转化成三角形和平行四边形问题 . 如图所示：13填空（1）等腰梯形上底长为 3cm，腰长为 4cm，其中锐角等于 60o， 则下底长是 （2）等腰梯形一个底角是 60o，它的上、下底分别是 8 和 18，则这梯形的 腰长是 ，高是 ，面积是 （ 3）在直角梯形中，垂直于底的腰长5cm，上底长 3cm
9、，另一腰与下底的夹角为 30o，则另一腰长为，下底长为 （4）等腰梯形两对角线互相垂直，一条对角线长为6，则高为，面积为 （5）已知在梯形 ABCD 中， AD/BC ，若两底 AD、BC 的长分别为 2、8， 两条对角线 BD=6 ， AC=8 ，则梯形的面积为 （四）推理论证的进一步巩固14（2007恩施自治州）如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交 于点 O,E、F 是直线 AC 上的两点，并且 AE=CF, 求证：四边形 BFDE是平行四边形15如图，在平行四边形 ABCD 中，E、F 分别是直线 AB 、 CD的中点，AF、DE 相交于点 G，CE、 BF 交于点 H
10、 求证：四边形 GEHF 是平行 四边形 . A F16平行四边形 ABCD 中，点 E、F分别在 BC、AD 上，且AF=CE ，,求证：四边形 AECF 是平行四边形17求证：正方形的两条对角线将之分成四个全等的等腰直角三角形CD 上， 并且 AE BF；18已知点 E、F 在正方形 ABCD 的边 BC、2）若 E、F 分别是 BC、EF 的中点，如图19（ 2007 浙江金华）国家级历史文化名城 广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图） 橙、紫 6 种颜色的花如果有 AB EF 下列说法中错误的是（ ）A红花、绿花种植面积一定相等 B紫花、橙花种植面积一定相等 C红花、蓝花种植面积一定
11、相等D蓝花、黄花种植面积一定相等20.（06 盐城）已知ABCD 的面积为则 SAOB =13（2），求证： GD=AD 金华， 风光秀丽，花木葱茏 某 ，分别种有红、黄、蓝、绿、 DC ， BC GH AD ，那么A 紫E绿 红黄 蓝 橙蓝4，对角线交于 O，（1）若 BE=CF ，如图 13（1）求证： AE=BF21.若 A,B,C 三点不共线，则以其为顶点的平行四边形共有（ A1个B2 个C3 个22.平行四边形一边长为 10 ，一条对角线长为 6， 取值范围是（ ）A.4 a1623.平行四边形中一边长为A 4cm 和 6cmC8cm 和 12cm）D4个则它的另一条对角线D.8 a
12、32a的B.4 a26C. 12a2010cm，那么两条对角线的长度可以是（ B 6cm 和 8cmD 20cm 和 30cm24.（07 北京市 23）如图，已知 ABCAE，并表示出面积相等（1）请你在 BC边上分别取两点 D，E（ BC的中点除外） ，连结 AD， 写出使此图中只存在两对 面积相等的三角形的相应条件， 的三角形；（2） 请你根据使（ 1）成立的相应条件，证明 AB AC AD AE FC25如图已知 ABC ，过顶点 A 作 B、 C的平分线的A垂线， ADBD 于 D，AECE于 E求证： ED/BC 26如图，已知 BD、CE 是 ABC 的两条高， M 、N 分别是
13、 BC、DE 的中点求证：（1）EM=DM ；（2）MN DE图 27(1)27（1）如图 27（1），正方形 ABCD ，E、F 分别为 若 EAF=45 o求证： EF=BE+DF 若 AEF 绕 A 点旋转，保持 EAF=45 o， 问 CEF的周长是否随 AEF 位置的变化而变化？（2）如图 27（2） ，已知正方形 ABCD 的边长为 1， BC 、CD 上各有一点 E、F，如果 CEF 的周长为 2 求 EAF 的度数（3）如图 27（3），已知正方形 ABCD ，F为BC 中点 E 为 CD 边上一点，且满足 BAF= FAE 求证： AE=BC+CE 五)知识的联系与综合28已知ABCD 的顶点 A 、B、C的坐标为 (-2,3),(-5,-4),(1,-4) ，则 D 点坐标为29. 如图，已知 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 原点，点 A 的坐标为 (-2,3) ，则点A、(-3,2)交于平面直角坐标系的B、（-2,-3）的夹角为 ，入射光线C 的坐标为( )C、 (3,-2)30
