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1、12第十二章 无穷级数 导读：就爱阅读网友为您分享以下“12第十二章 无穷级数”资讯，希望对您有所帮助，感谢您对的支持!高等数学学习指导84 第十二章 无穷级数一、基本要求及重点、难点1.基本要求(1)理解无穷级数收敛、发散以及和的概念,了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。(2)了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与 P 级数的收敛性, 掌握正项级数的比值审 敛法。(3)了解交错级数的莱布尼茨定理,会估计交错级数的截断误差。了解绝对收敛与条件收 敛的概念及二者的关系。(4)了解函数项级数的收敛域与和函数的概念,掌握简单幂级数收敛区间的求法(区间端 点的收敛性不作要求) 。了解幂级数在其收敛
2、区间内的一些基本性质(对幂级数的和函 数只要求作简单训练) 。(5)会利用 ) 1ln(, cos , sin , x x x e x +与 ) 1(x +的马克劳林 (Maclaurin ) 展开式将一些简单 的函数展开成幂级数。(6)了解利用将函数展开为幂级数进行近似计算的思想。(7)了解用三角函数逼近周期函数的思想,了解函数展开成傅立叶(Fourier )级数的狄利 克雷(Dirichlet )条件,会将定义在 ) , (-和 ) , (l l -上的函数展开成傅立叶级数,会 将定义在 ) , 0(l 上的函数展开为傅立叶正弦级数或余弦级数。2.重点及难点(1) 重 点:掌握正项级数的审
3、敛法,能对幂级数审敛及会把某些函数展开成幂级数。(2) 难 点:一般项级数的审敛法,求幂级数的和函数,将函数展开成幂级数。 二、内容概述1.常数项级数(1)一般概念定 义 给 定 一 个 数 列 n u , 对 它 的 各 项 依 次 用 “ +” 号 连 接 起 来 的 表 达 式 +n u u u 21,称为级数,记为 =1n n u ,其中第 n 项 n u 叫做级数的一般项;级数的第十二章 无穷级数85前 n 项和 =+=nk kn n uu u u s 121 称为级数的第 n 个部分和,简称部分和。定义 如果级数=1n nu的部分和数列 n s 有极限 s , 即若 s s n n
4、 =lim , 则称无穷级数=1n nu收敛, 这时极限 s 叫做该级数的和, 并写成 =s =1n nu; 如果 n s 没有极限, 则称级数=1n nu发散。(2)收敛级数的基本性质 性质 1、若=1n nu收敛于和 =1, n nkus 则也收敛,且其和为 ks ,其中 k 为常数。推论:若 0k ,则=1n nu与=1n nku同时收敛或同时发散。性质 2、若两个级数=1n nu、=1n nv收敛,且其和分别为 , s ,则级数=1) (n n nv u也收敛,其和为 s 。此性质是说,两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减。 注意 (i)若=1n nu收敛,=1n nv发散,则级数=1)
5、 (n n nv u发散;(ii)若=1n nu和=1n nv都发散,=1) (n n nv u未必发散,可能收敛也可能发散。性质 3、在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性。 性质 4、收敛级数任意加括号所成的新级数,仍然收敛于原级数之和。注意 发散级数加括号后有可能收敛,即加括号后级数收敛,原级数未必收敛。反过来 说,收敛级数去括号后未必仍收敛。推论:若加括号后所成的级数发散,则原级数也发散。 性质 5(级数收敛的必要条件) 若级数=1n nu收敛,则 0lim =n n u 。注意 一般项趋于 0的级数,不一定收敛。 推论 若 0lim n n u ,则级数=1n nu发散
6、。我们常用这个推论来判定某些级数是发散的。2. 正项级数及其审敛法高等数学学习指导86 (1) 一般概念定义 ,中各项均有 如果级数 01=n n nu u 这种级数称为正项级数 . 定理 有界 部分和所成的数列 正项级数收敛 n s .该定理说明若正项级数=1n n u 发散,则 n s 无界。(2) 比较审敛法 均为正项级数 和 设 =11n n n n v u , 且 ) , 2, 1( =n v u n n , 若 =1n n v 收敛 , 则 =1n n u 收敛; 若 =1n n u发散,则 =1n n v 发散。比较审敛法的特点是,判断一个正项级数是否收敛需找一个已知收敛性的级数
7、与之比 较。因此,比较审敛法的不便之处在于需有参考级数 .在利用比较审敛法时要掌握一些已知其收敛性的级数, 常用的参考级数有几何级数 , P-级数 , 调和级数:(i ) 几 何级数 =-11n n aq 当 1q 时收敛,其和为 qa -1;当 1q 时发散。 (ii)P-级数 11, 11, p n p n p =当 时 收敛 当 时 发散 (3)比较审敛法的极限形式 设 =1n n u 与 =1n n v 都是正项级数 , 如果 l v u nn n =lim, 则 (i) 当 +l 0时 , 二级数有相同的收敛性 ;(ii) 当 0=l 时,若 =1n n v收敛 , 则 =1n n
8、u 收敛 ;(iii) 当 +=l 时,若 =1n n v发散 , 则 =1n n u 发散 ;比较审敛法用得比较多的是它的极限形式,利用极限形式可以省去放大与缩小不等式的 麻烦。(4) 比 值 审 敛 法 (达 朗 贝 尔 D Alembert 判 别 法 ) 设 =1n n u是 正 项 级 数 , 如 果) (l i 1+=+为数或 nn n u u , 则当 1时级数收敛 ; 当 1或为 +时级数发散 ; 当第十二章 无穷级数87 1=时级数可能收敛也可能发散 .利用比值审敛法判别级数的收敛性, 只需要通过级数本身就可以进行, 而不必象比较审敛法那样还必须找出一些收敛性为已知的其他级数
9、, 这是它的优点。 当然, 当极限不存在及极限 1=时比值审敛法失效,只能改用其他方法。注意 (i)当 1=时比值审敛法失效 ;(ii)条件是充分的 , 而非必要 .(5) 根 值 审 敛 法 (柯 西 判 别 法 ) 设 =1n n u是 正 项 级 数 , 如 果=n n n u lim ) (+为数或 , 则 1时级数收敛 ; 1时级数发散 ; 1=时失效 . 注意 (i)比较审敛法、比值审敛法与根值审敛法都只适用于正项级数。(ii)对于同一正项级数,有时比较审敛法、比值审敛法与根值审敛法都行之有效, 但各种判别法的繁简程度可能不同。(iii)由于比较审敛法需要有一个已知其敛散的级数进行
10、比较, 因此在使用上有 时没有比值审敛法与根值审敛法方便;但比值审敛法与根值审敛法都是特殊形式的比较审敛法。因此,若比值审敛法与根值审敛法不能判定其收敛性的正项级数, 可以考虑用比较审敛法判定其收敛性。3. 交错级数及其审敛法定义 形如 ) 1()1(111n n n n n n u u =-或 ) 0(n u 其中 的级数,即正、负项相间的级数 称为交错级数 .莱布尼茨定理 如果交错级数 n n n u =-11)1(满足条件 :(i) , 3, 2, 1(1 =+n u u n n ;(ii)0lim =n n u , 则级数收敛 , 且其和 1u s , 其余项 n r 的绝对值 1+n
11、 n u r .注意 若不满足莱布尼茨定理第二条, 则级数一定发散; 但满足第二条而不满足第一条的交错级数则不一定发散。4. 任意项级数及其审敛法定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数 .定理 若 =1n n u收敛 , 则 =1n n u 收敛 . 定义 :若0n n u 收敛 , 则称 0n n u 为绝对收敛 ;高等数学学习指导88 若 =1n n u发散 , 而 =1n n u 收敛 , 则称 =1n n u 为条件收敛 .5. 函数项级数和幂级数(1) 一般概念定 义 设 ), (, ), (), (21x u x u x u n 是 定 义 在 区 间 R I 上 的 函 数
12、 , 则 +=) () () () (211x u x u x u x u nn n 称为区间 I 上的 (函数项 ) 无穷级数 . 对函数项级数来说,在给定一个确定值之后,函数项级数即转化为常数项级数。 定义 如果 I x 0, 数项级数=10) (n n x u 收敛 , 则称 0x 为级数 ) (1x u n n =的收敛点 , 否则称为发散点 . 函数项级数) (1x u n n =的所有收敛点的全体称为收敛域 , 所有发散点的全体称为发散域 . 在收敛域上 , 函数项级数的和是 x 的函数 ) (x s ,称 ) (x s 为函数项级数的和函数 .(2) 幂级数及其收敛性定义 形如
13、n n n x x a) (00=-的级数称为幂级数。其中 , , , , , 210n a a a a 均为常数,称之为幂级数的系数。定理 (阿贝尔(Abel )定理 ) 如果级数 =0n n n x a 在 ) 0(00=x x x 处收敛 , 则它在满足 不等式 0x x 的一切 x 处绝对收敛 ; 如果级数=0n n n x a 在 0x x =处发散 , 则它在满足不等 式 0x x 的一切 x 处发散 .推论 如果幂级数 =0n n n x a不是仅在 0=x 一点收敛 , 也不是在整个数轴上都收敛 , 则必有一个完全确定的正数 R 存在 , 使得:当 R x 时 , 幂级数绝对收敛 ; 当 R x 时 , 幂级 数发散 ; 当 R x R x -=与 时 , 幂级数可能收敛也可能发散 .这个正数 R 称为幂级数的收敛半径。 由幂级数在 R x =的收敛性就可以决定它在区 间 ), , (R R -), , R R -, (R R -, R R -上收敛,这区间叫做幂级数的收敛区间。第十二章 无穷级数89规定:(i)若幂级数只在 0=x 处收敛 , 则 , 0=R 收敛区间只有一点 0=x ; (ii) 若幂级数对一切 x 都收敛 , 则 , +=R 收敛区间为 ) , (+-.定理 如果幂级数=0n n n x a 的相邻两项系
