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1、一、填空（30分）741、d （1（X）0） = 。 （p （IO（X） =。（11）=。2、ax+bY=c有解的充要条件是。3、2002 2002被3除后余数为。4、Xl=3, Y=4, Z=2,则X2Y+3Z可能的值为。5、（p （ 1） +（p （P） 4-,（p （P”） =。6、高斯互反律是7、两个素数的和为31,则这两个素数是。8、带余除法定理是。解同余方程组（12分）x 三-2（modl2）* x 三6（modl0）x三 l（modl5）A、叙述威尔逊定理。B.证明若（巾一1）!+1三0（modm）,则m为素数（10分）四.解方程 X4 + 7X + 4 三o （mod 2 7
2、）（10 分）设2P+1为素数，试证（P!）2 +（T”三0（mod2p+1）（心分）六、设P=4n+3是素数，证明当q=2p+l也是素数时，梅森数M P =2p_1不是素数。（10分）七、证X3 + 3y3=9z3无正整数解。饵分）八、设n是大于2的整数，证明为偶数（10分）精选一. 填空题（每小题3分，共30分）La （29） =.2. 不能表示成5x + 4*（X，*为非负整数）的最大整数为.3. 7在2008!的标准分解式中的最高慕指数是.4. 2005和2006的最小公倍数是.5. 威尔逊定理是.6. 设X1为整数且被4、5、7除后的余数都为3,则最小的*是.7. 已知（a, b）
3、=1,贝ij （5a+3b, 13a+8b） =.8. 1, 4, 9, 16,. 10000这100个平方数中是3的倍数的平方数有个.9. 若今天是星期日，则1天后的那-天是星期.10. 32。5的末二位数是.二. 解同余方程组（12分）x = -3（mod5）. x = 一 5（mod 8）x 三 l（mod 7）三. 解同余方程17x三一2（mod25）（3分）四. 求4x2-为/一3 = 0的整数解 （I。分）五. 判断同余方程x2=73（mod 137）是否有解,若有解,有几解.（8分）六. 证明：不存在整数*使等式火2+*2 = 995成立.（10分）七. 设 72| a673b
4、,试求a, b 的2为素数)。(10分)八、证明形如4m+l的素数有无穷多个(10分)答案1、24,2、素数3、294、835、16、x“+*n =z“(Z3)无正整数解7、7, 35, 49, 778、(Q,m)|b ,9、11()、-5, -4, -3, -2答案解因为7,8,9两两互素，所以可以利用孙子定理.M =72,M,=63,M =56,m = 494解同余土 2372M.三 l(mod7) 63M，三 l(mod8) 56M, = 1 (mod 9)1，2，3得到咛=4,叽=-1,、=-4 .于是所求的解为x 三 72 x 4 x 1 + 63 x (1) x 2 + 56 x
5、(-4) x 3(mod 494)三-510(mod 494) = 478(mod 494).答案带余除法定理：论如Z,且力0,则为,广。2；使得m(0G6)成立，并且是惟一的.证明：(存在性)作整数序列：-3力-2力-力 0,3,对于必存在一个整数使得0力“0*1)3成立令 ra-cfb np a =0 r i r(=?；惟性)：若为、* eZ使得a = bq+r (0习3),/ a-bq- r-bqb(qq -rrl=kiNv 0rbt0rb,/. 0 牛-r|&0伞-亦1又g 典;,|q-qj = 即 0Fi从而有尸久,是惟一的.答案解：由 X2 + 2x + 2 =0(mod5)得 x
6、三 l,2(mod5)对 x三 l(mod5)得 x=1+5t 代入X2 + 2X + 2 三()(md25)有三-l(mod5)有1 + 5代入心+51 得 x = 6 + 25f代入 x2 + 2x+2=0 (mod 125)有七三-2(mod 5 = 2+5 匕代入有x= 56 + 125tx = 56(modl25)2，同理另一解为X三67(modl25)答案证：由威尔逊定理(p - 1)!= -l(mod p)由欧拉定理QQ(modp),两式相乘即得(p - 1)!qp三-Q(mod p)即有P| ( P- 1 )! +a答案证:若不定方程有解，则x=y2 Jg5z-3但y4=0,
7、1 (mod5), 对 y,z*4-5z-3=2, 3(mod5)而一个平方数三0，1, 4 (mod 5)*4-5z-3不可能为完全平方，即Ji/45z.3不是整数,所以原不定方程无解。答案证：设q是2 p-1的质因数，由于2 p-1为奇数，q=2,.(2q) =1,由条件 q|2p-l,即 2 p = 1 (mod q)又,: (q,2) =1, 2 p = 1 (mod q)设i是使得2 x三1 (mod p)成立最小正整数若li1且能被4、5、7整除，则最小的X是o匝人成8 x勺00由614、5050 被7除后的余数为o15、两个素数的和为31,则这两个素数是。16、带余除法定理是o二、解同余方程组(12分)x = 2( mod 5) x = 3(mod8)x 三 l(mod7)三、叙述并且证明费尔马小定理。(12分)四、如果整系数的二次三项式P(x) = x2+bx + cSx = 0,l时的值都是奇
