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1、一元二次方程和抛物线1、一元二次方程 ax 2bx c 0 （ a 0 ）（1）当 V24ac 0 时， x 有两个不相等的实数根，即bb24acbx=2a（2）当 Vb24ac =0 时， x 只有一个实数根，即 x=b2a（3）当 Vb24ac 0 时， x 没有实数根。推导过程如下：ax 2bxc 04a2 x24abx4ac04a2 x24abxb2b24ac 0(2 axb)2b24ac0(2 axb)2b24ac2axbb24acbb24acx2ax1 x2bx1 x2c,aa备注：推导过程只需了解一下，考试时可直接用，以上三点多用于判断该方程有几个根，一般考试时会告诉你abc 中
2、的一个或两个，再告诉你有几个根，然后根据性质求出未知的那一个，更多地用于在抛物线中判断与x 轴的位置关系，详见第 2 大点。2、 yax2bxc0 （ a0 ）在直角坐标系中抛物线的一般表达方式，是由y ax2 （ a 0）通过平移得到的， y ax 2 （ a 0 ）是顶点为坐标系原点的抛物线。 a0 是因为当 a 0 时， y 就不是抛物线了，而是一条直线。yax2bxc0 （ a0 ）有以下几个特点是考试中常考到的，复习时需结合图形理解：（ 1）抛物线顶点坐标： (b, 4ac b2) ，因此，对称轴 xb2a4a2a a0 时，抛物线开口向上，y 有最小值，无最大值， y 先是随着 x
3、 的增大逐渐减小，当 x 增大至b时， y 取最小值 4acb2，而后又随着 x 的增大 y 逐渐2a4a增大。（以对称轴为界先减后增） a0 时，抛物线开口向下，y 有最大值，无最小值， y 先是随着 x 的增大逐渐增大，当 x 增大至b时， y 取最大值 4acb2，而后又随着 x 的增大 y 逐渐2a4a减小。（以对称轴为界先增后减）（ 2）开口大小根据 a 的绝对值来判断， a 越大，开口越大， a 越小，开口也越小。（ 3）抛物线与 y 轴的交点为（ 0，c）（ 4）考试时还经常用到的是 V b24ac 来判断抛物线与 x 轴的位置关系： b24ac0 时，抛物线与 x 轴有两个交点
4、，且两交点关于对称轴对称，分别为 x1(bb24ac ,0) 和 x2 ( bb24ac ,0) ，要分清楚哪个在对称轴左2a2a边，哪个在对称轴右边。 b24ac0 时，抛物线与x 轴有且只有一个交点，该交点就是抛物线的顶点，交点坐标为 (b ,0) ，该点毫无疑问在对称轴上。2a b2 4ac 0 时，抛物线与 x 轴没有交点。（ 5）平移问题，经常考，掌握诀窍后不难，但一不小心很容易错。假设原抛物线方程为 y ax 2 bx c 0 （ a0 ），有以下两种平移方法： 横向平移：向左平移 k 时，用 (xk) 代替原来的 x，即 y=a(xk )2b(xk )c ，（ a0 ）,向右平移
5、 k 时，用 (xk ) 代替原来的 x，即 y=a(xk )2b( xk)c ，（ a 0 ）,备注：如原抛物线方程以配方形式出现时，如：y 3( x5) 24 形式出现时，就更为方便，向左平移24 ，同理，向右平移就是2 就是 y 3 (x 2) 52y 3 ( x 2) 54 纵向平移：向上平移 m 时，在式子末尾直接加上m 即可，即： y=ax 2bxcm ，（ a 0 ）向下平移 m 时，在式子末尾直接减去m 即可，即： y=ax 2bxcm ，（ a 0 ）说明：以上所总结出来的规律在复习时要结合图形进行理解，更直观，便于消化，要熟练有关公式的推导过程，不可死记硬背，得理解才能活学活用，万一在考试时忘记某个公式，可现场进行推导。
