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1、 2015年全国高中数学联赛模拟试卷（1） 姓名_1. 方程的解是_.2. 边长为的菱形中，为中点，若，则_.3. 函数的值域为_.4. 用3个2（不加任何运算符号）可以组成形如的4个数，那么用4个2所组成类似形式的数中，最大的是_.5. 设某数列的各项依次是1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5，（1个1,2个2，个，），则此数列的前100项之和是_.6是自然数，是质数，则使为整数的数对有_对.7. 若，则的取值范围是_.8. 已知为非负实数，则的最小值是_.9. 从点向圆作两条切线，其中是两条切线与抛物线的交点，试判断直线与圆的位置关系.10.已知函数.数列满足：，.求证：（1）；（2
2、）.11.已知各项均为正整数的等差数列前项和为，是等比数列，且满足 ，的公比为16，求数列与的通项公式.2015年全国高中数学联赛模拟试卷（1）参考答案1. 方程的解是_.【答案】或.2. 边长为的菱形中，为中点，若，则_.【答案】.3. 函数的值域为_.【答案】.4. 用3个2（不加任何运算符号）可以组成形如的4个数，那么用4个2所组成类似形式的数中，最大的是_.【答案】.5. 设某数列的各项依次是1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5，（1个1,2个2，个，），则此数列的前100项之和是_.【答案】.6是自然数，是质数，则使为整数的数对有_对.【答案】无数.【解析】取即可.7. 若，则
3、的取值范围是_.【答案】.【解析】由，设，则.8. 已知为非负实数，则的最小值是_.【答案】.【解析】，令.9. 从点向圆作两条切线，其中是两条切线与抛物线的交点，试判断直线与圆的位置关系.解：由直线与圆相切易得，分别代回方程组，可得，故直线方程为，点到直线的距离，所以直线与圆相切.10.已知函数.数列满足：，.求证：（1）；（2）.解：（1）当时，在上为增函数，又，故当时，有；同理，当时，有对任意成立，由数学归纳法易知.又，.综上，.（2）设，由（1）知，当时，故，在上递增，即.11.已知各项均为正整数的等差数列前项和为，是等比数列，且满足 ，的公比为16，求数列与的通项公式.解：设公差为，公比为，其中.由题意.，即，.又的公比为16，即，注意到为有理数，故，从而，经检验得满足.，故或.
