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1、（新教材）北师大版精品数学资料高考六大高频考点例析对应学生用书P44两个计数原理及排列与组合问题考查方式高考对两个计数原理、排列与组合的考查，主要以选择题、填空题的形式出现，试题难度不大，高考中，同时考查两个计数原理、排列与组合试题俱多在解答题中，排列、组合常与概率、分布列的有关知识结合在一起考查备考指要解排列组合综合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手“分析”就是找出题目的条件、结论哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个互
2、相联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决同时要遵循四大原则：先特殊后一般的原则、先取后排的原则、先分类后分步的原则、正难则反的原则.例1(四川高考)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A192种B216种C240种 D288种解析当最左端排甲时，不同的排法共有A种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有CA种故不同的排法共有ACA924216种答案B例2(1)(全国大纲卷)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A60种 B70种C75种 D150种(2)(
3、安徽高考)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60的共有()A24对 B30对C48对 D60对解析(1)从中选出2名男医生的选法有C15种，从中选出1名女医生的选法有C5种，所以不同的选法共有15575种，故选C.(2)法一：直接法：如图，在上底面中选B1D1，四个侧面中的面对角线都与它成60，共8对，同样A1C1对应的也有8对，因此一个面上的2条面对角线与其相邻的4个面上的8条对角线共组成16对，又正方体共有6个面，所以共有16696(对)，又因为每对被计算了2次，因此成60的面对角线有9648(对)法二：间接法：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或成角为60
4、，所以成角为60的共有C12648.答案(1)C(2)C1设集合I1,2,3,4,5，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有()A50种 B49种C48种 D47种解析：集合A，B中没有相同的元素，且都不是空集从5个元素中选出2个元素，有C10种选法，小的给A集合，大的给B集合；从5个元素中选出3个元素，有C10种选法，再分成1,2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有21020种方法；从5个元素中选出4个元素，有C5种选法，再分成1,3；2,2；3,1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3515种方法；
5、从5个元素中选出5个元素，有C1种选法，再分成1,4；2,3；3,2；4,1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有414种方法总计为102015449种方法选B.答案：B2某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序种类为()A720 B520C600 D360解析：依题意，分两类：甲、乙有一人参加，有CCA480种；甲、乙都参加，有CAA120种故不同的发言顺序为480120600种答案：C3(浙江高考)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同
6、的排法共有_种(用数字作答)解析：分两步：(1)先选A，B，C 3个空排，共有CAA种排法；(2)再排其余3个字母，共有A种排法；所以共有CAAA480种排法答案：480二项式定理及应用考查方式二项式定理问题相对独立，在高考中考查形式常以选择、填空为主考查的内容以二项展开式及其通项公式为主，重点考查二项式的特殊项和二项式系数的性质备考指要二项展开式的通项公式是解决与二项式定理有关问题的基础；二项展开式的性质是解题的关键求解时要注意区分“二项式系数”与“展开式中项的系数”的不同.例3(1)(新课标全国)(xy)(xy)8的展开式中x2y7的系数为_(用数字填写答案)(2)(新课标全国卷)(xa)
7、10的展开式中，x7的系数为15，则a_.(用数字填写答案)(3)(安徽高考)设a0，n是大于1的自然数，n的展开式为a0a1xa2x2anxn.若点Ai(i，ai)(i0,1,2)的位置如图所示，则a_.解析(1)(xy)8中，Tr1Cx8ryr，令r7，再令r6，得x2y7的系数为CC82820.(2)二项展开式的通项公式为Tr1Cx10rar，当10r7时，r3，T4Ca3x7，则Ca315，故a.(3)由题图可知a01，a13，a24，由题意知故可得答案(1)20(2)(3)34已知二项式(3x2)n的展开式中所有项的系数和为3 125，则此展开式中含x4项的系数是()A240 B72
8、0C810 D1 080解析：令x1，则5n3 125，解得n5.Tr1C(3x)5r2r2r35rCx5r，令5r4，得r1.则含x4项的系数为2134C810.答案：C5(辽宁高考)使n(nN)的展开式中含有常数项的最小的n为()A4 B5C6 D7解析：由二项式定理得，Tr1C(3x)nrrC3nrxnr，令nr0，当r2时，n5，此时n最小答案：B6若多项式x10a0a1(x1)a2(x1)2a10(x1)10，则a8的值为_解析：x10(1x1)10，a8(x1)8C12(x1)8，a8C45.答案：45离散型随机变量的分布列考查方式离散型随机变量的概率分布列是求随机变量的数学期望和
9、方差的基础，而求分布列需要综合应用排列、组合和概率的相关知识，是高考考查的重点内容之一在近几年高考中主要以大题形式综合考查，难度以低、中档为主备考指要求离散型随机变量的期望、方差，首先要明确概率分布，最好确定随机变量概率分布的模型，这样就可以直接运用公式进行计算不难发现，正确求出离散型随机变量的分布列是解题的关键求离散型随机变量的分布列有三个步骤：(1)明确随机变量X取哪些值；(2)计算随机变量X取每一个值时的概率；(3)将结果用二维表格形式给出，计算概率时注意结合排列与组合知识.例4(天津高考)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物
10、理、化学等其他互不相同的七个学院现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望解(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A).所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.P(Xk)(k0,1,2,3)所以，随机变量X的分布列是X0123P随机变量X的数学期望E(X)0123.7一袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的均值是_(用
11、数字作答)解析：令取红球个数为X(X0,1,2)，P(X0)，P(X1)，P(X2).则X的分布列为X012P于是EX0121.2，故红球个数的均值为1.2.答案：1.28(江西高考)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X.若X0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队(1)求小波参加学校合唱团的概率；(2)求X的分布列和数学期望解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C28种，X0时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波
12、参加学校合唱团的概率为P(X0).(2)两向量数量积X的所有可能取值为2，1,0,1，X2时，有2种情形；X1时，有10种情形；X1时，有8种情形所以X的分布列为：X2101PEX(2)(1)01.条件概率与独立事件概率考查方式高考对条件概率与独立事件概率考查，主要是概率的求法，多以解答题一问出现，一般难度较低备考指要1.求解条件概率，要利用计算公式(1)对于古典概率的题目，可采用缩减样本空间的办法求条件概率或用P(B|A).(2)直接利用公式P(B|A)求解2.对于相互独立事件要注意区分与互斥事件的不同，解题时先要注意判断事件是互斥，还是相互独立，然后选择相应的公式解题(1)当事件A，B互斥
13、时，那么事件AB发生(即A，B中有一个发生)的概率，等于事件A，B分别发生的概率和(2)当事件A，B相互独立时，那么AB发生(即A，B同时发生)的概率等于事件A，B分别发生的概率之积.例5(山东高考)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其他情况记0分对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响求：(1)小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(2)两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望解(1)记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i0,1,3)，则P(A3)，P(A1)，P(A0)1；记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分 ”(i0,1,3)，则P(B3)，P(B1)，P(B0)1.记D为事件“小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上”由题意，DA3B0A1B0A0B1A0B3，由事件的独立性和互斥性，P(D)P(A3B0A1B0A0B1A0B3)P(A3B0)P(A1B0)P(A0B1)P(A
