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1、 数码相机定位问题的研究摘要本文从计算机视觉系统出发,对数码相机的定位问题进行了进一步研究，并建立了相应的数学模型。对于问题一,先运用光学成像的有关知识，建立了针孔模型,然后又考虑了摄像机的畸变问题，对上述模型进行改善，建立了非线性模型，并给出了相应的算法。对于问题二，基于问题一中建立的模型，运用最小二乘法的思想,运用软件进行求解，得到靶标上圆的圆心在该相机像平面上的像坐标为：（单位：m）坐 标-53.5761-53365.993.7455-646248-5.4880-52.218147.781325954337029对于问题三,运用蒙特卡罗模拟数据的措施,借助软件,对问题一中的模型进行了检查
2、，并对该措施的精度和稳定性进行了讨论。对于问题四，运用几何学的有关知识，建立了双目定位系统中两部相机之间的关系式,从而拟定了它们在空间中的相对位置关系，并给出了相应的算法。本文综合考虑多方面因素,公式、表格、图形体现相结合，建立的模型构造严密，具有较强的逻辑推理性，最后并对成果进行分析与检查，符合实际状况,具有一定的参照价值。核心词：数码相机 针孔模型 靶标 蒙特卡罗一、问题重述.1基本状况数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片拟定物体表面某些特性点的位置。最常用的定位措施是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一种特性点，用两部固定
3、于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要懂得两部相机精确的相对位置,就可用几何的措施得到该特性点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即拟定了特性点的位置。于是对双目定位，精确地拟定两部相机的相对位置就是核心,这一过程称为系统标定。标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点， 同步用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，运用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标）,它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形,如附件图所示,因此必须从靶
4、标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。有人设计靶标如下,取1个边长为10mm的正方形,分别以四个顶点(相应为A、C、E)为圆心,12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30m处的B为圆心,2mm为半径作圆，如图所示。用一位置固定的数码相机摄得其像,如图2所示。 图1 靶标示意图 图2靶标的像需解决的问题 建立数学模型和算法以拟定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的光学中心，x-y平面平行于像平面;对由图1、图分别给出的靶标及其像,计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标， 该相机的像距（即光学中心到像平面的距离）是577个像素单位(1毫米约为3.8个像素
5、单位)，相机辨别率为124768；设计一种措施检查你们的模型，并对措施的精度和稳定性进行讨论；建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和措施。二、基本假设）不考虑外界环境对摄像效果的影响;2）数码相机完好无损，所得到的图像质量较好；3）物平面与像平面之间存在着一定的关系；）双目系统中两部相机存在一定的几何相对关系;有些假设在将题中给出。三、符号阐明:以像素为单位的图像面上的横坐标；:以像素为单位的图像面上的纵坐标；:以毫米为单位的图像面上的横坐标;:以毫米为单位的图像面上的纵坐标;：每一种像素在轴方向上的物理尺寸;：每一种像素在轴方向上的物理尺寸;：视平面与基准平面之间的夹角；：一阶径向
6、畸变参数；:数码相机的焦距;:三维平移向量;：投影矩阵；：旋转矩阵；:比例系数;四、模型建立及求解模型准备:(1)定义一：由有限次中心射影的积定义的两个平面之间的一一相应变换称为二维射影变换。图3 二维照相变换上图中,间为中心射影,间为射影变换。（2）定理一：射影变换保持点列的交比不变。上述定理表达,若存在射影变换将直线变换到，为直线上任意四点，为它们在上相应点,则。(3)定义二：维射影空间的点变换若满足，其中,为标量，与分别为变换前后空间点的齐次坐标,，为满秩的矩阵。以二维为例，有:上式可以写成:消去并标记得到非齐次坐标的互换形式： (4)物距:拍摄物体到透镜中心的距离；(5)像距：成像到透
7、镜中心的距离;（6)焦距：焦点到透镜中心的距离;4.1问题一4.11问题分析题目中规定建立数学模型和算法以拟定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标,要解决这个问题,需要在像平面上和物平面上分别建立相应坐标系,拟定物平面上给定圆心的坐标，然后通过相机成像原理,计算像平面上该圆心的坐标。这样就可以比较好的解决这个问题了。也就是说，问题一中的核心是如何在物平面上建立坐标系。4.1.模型建立模型线性数码相机模型（针孔模型)数码相机采集的图像为数组，行列的图像中的每一种元素（称为像素)的数值即是图像点的亮度。图像上每一点的亮度反映了空间物体表面某点反射光的强度，而该点在图像上的位置则与空间物体表面相应点
8、的几何位置有关。这些点的位置的互相关系，由数码相机成像几何模型所决定。该几何模型的参数称为数码相机参数。如图4所示在图像上定义直角坐标系,每一像素的坐标分别是该像素在数组中的列数和行数,因此是以像素为单位的图像坐标系的坐标。由于只表达像素位于数组中的列数和行数，并没有用物理单位表达出该像素在图像中的位置，因而，需要在建立以物理单位(例如毫米)表达的图像坐标系。该坐标系以图像内某一点为原点,轴与轴分别与轴平行,如图4所示。即表达以像素为单位的图像坐标系的坐标，表达以毫米为单位的图像坐标系的坐标。在坐标系中，原点定义在数码相机光轴与图像平面的交点，该点一般位于图像中心处，但是由于数码相机制作的因素
9、,也会有些偏移，若在坐标系中的坐标为,每一种像素在轴与轴方向上的物理尺寸为,则图像中任意一种像素在两个坐标系下的坐标有如下关系:图4 图像坐标系在空间坐标系下，为了后来使用的以便,引入射影变换，根据射影变换的定义，用齐次坐标与矩阵形式将上式表达为: (4.1）通过高等代数的知识可以得到（4.）逆关系可表达为: (4.2） 数码相机成像的几何关系可由下图表达。其中点称为数码相机光心，轴和轴与图像的轴与轴平行，轴为数码相机的光轴,它与图像平面的交点即为图兆欧表系的原点，由点与,，轴构成的直角坐标系称为数码相机坐标系。为数码相机焦距。图 相机坐标系与世界坐标系由于数码相机可安放在环境中任何位置,在环
10、境中应当选择一种基准坐标来描述数码相机的位置，并用它描述环境中任何物体的位置,该坐标线之间的关系可以用旋转矩阵与平移向量来描述。因此,空间某一点在世界坐标系与数码相机坐标系下的齐次坐标如果分别是与,于是存在下列关系: （.3)其中，为正交单位矩阵,为三维平移向量，为矩阵。对于空间任何一点在图像上的成像位置可以用针孔模型近似表达。由凸透镜成像的原理可以得到空间任何点在图像上的投影位置，为光心与点的连线与图像平面(指的是在凸透镜成像原理中将像平面对称在光学中心位置）的交点。这种关系也称为中心照相或透视投影,由比例关系有如下关系式: （4.）其中,为点的图像坐标，为空间点在数码相机坐标系下的坐标。用
11、齐次坐标与矩阵表达上述透视投影关系： （45）将式(2)与()代入上式,得到以世界坐标系表达的点坐标与其投影点的坐标的关系体现式： (46)其中，为矩阵，称之为投影矩阵,完全由决定，由于只与数码相机内部构造有关，称这些参数为数码相机内部参数，完全由数码相机相对于世界坐标系的方位决定,称为数码相机外部参数，拟定某一数码相机的内外参数,称之为数码相机定标。对任何空间点，如果懂得投影矩阵和的坐标,就可以求出它的图像点的位置，这是由于在已知与时,式(4.6)给出了三个方程中消去就可以求出。相反,如果已知空间某点的图像的位置，虽然已知数码相机内外参数,也是不能唯一拟定的。事实上，在式(4.6）中是不可逆
12、矩阵，当已知与时，由式（46）给出的三个方程中消去，只可以得到有关的两个线性方程，由这两个线性方程构成的方程组即为射线的方程，也就是说，投影点为的所有点均在该射线上,其物理意义可由图5看出,当已知图像点时，由针孔模型，在任何位于射线上的空间点的图像点就是点,因此,该空间点是不能唯一拟定的。数码相机定标一般都需要一种放在数码相机前的标定参照物（见图6)，数码相机获取该物体的图像，并由此计算数码相机的内外参数。标定参照物上的每一种特性点（图6物体上每一种小方块的顶点）相对于世界坐标系的位置在制作时应精确测定,世界坐标系课选为参照物的物体坐标系。在得到这些点在图像上的投影位置之后，可由下列式子计算出
13、数码相机的内外参数：图6 标定参照物一方面由参照物图像求投影矩阵的算法。将式(4.6)写成: (.)其中，为空间第个点的坐标，为第点的图像坐标,为投影矩阵的第行列元素，上式涉及三个方程： (. ）将上式中的第一式除第三式,第二式除第三式分别消去后，可得到如下两个有关的线性方程: (. )上式表达，如果标定块上有个已知点，并已知它们的空间坐标与它们的图像点坐标，则有个有关矩阵元素的线性方程，用矩阵形式写出这些方程如下： （4. 10）由式（4.6）可见矩阵乘以任意不为0的常数并不影响与的关系,因此上式中可以指定，从而得到有关矩阵其她元素的个线性方程。这些未知元素的个数为个,记为11维向量,将式（
14、.10)简写成: (4.11）其中，为式(4.10）左边矩阵，为未知的1维向量，为式（.10)右边的维向量，为已知向量，当时，可以用最小二乘法求出上述线性方程的解为: （2）向量与构成了所求解的矩阵。在一般的定标工作中，都使标定块上有数十个已知点，使方程的个数大大超过未知数的个数，从而用最小二乘法求解以减少误差导致的影响。求出矩阵后,可由公式(4.)表达的关系算出数码相机的所有内外参数。但是要注意一点，所求得的矩阵与式(4.6)所示的矩阵相差一种常数因子，这一点可以从解方程(410)时指定中看出。虽然已指出,指定并不影响投影关系,但在分解矩阵时必须考虑。将式（4.6）中矩阵与数码相机内外参数的关系写成： (4.13)其中为由式（410）求得的矩阵的第行的前三个元素构成的行向量，为矩阵第行第四列元素,为旋转矩阵的第行,分别为平移向量的单个分量。由式(4.13）可得： (.14)比较上式两边可知,，由于是正交单位矩阵的第三行，,因此，可以从求出。再由如
