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1、高考数学最新资料专题能力训练7导数与函数的单调性、极值、最值专题能力训练第18页一、能力突破训练1.已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=()A.-4B.-2C.4D.2答案：D解析：f(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),令f(x)=0,得x=-2或x=2,易得f(x)在区间(-2,2)内单调递减,在区间(-,-2),(2,+)内单调递增,故f(x)极小值为f(2),由已知得a=2,故选D.2.在同一平面直角坐标系中,函数y=ax2-x+与y=a2x3-2ax2+x+a(aR)的图象不可能的是()答案：B解析：显然当a=0时,D中图象是可能的,当a0时,由y=a2x3-
2、2ax2+x+a(aR)求导得y=3a2x2-4ax+1,令y=0,得x=或x=.函数y=ax2-x+的图象的对称轴为x=,不管a0还是a0,都有在与之间,而由B中图象可知0时,可判断得A,C项中图象都有可能.3.若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f(x)满足f(x)k1,则下列结论中一定错误的是()A.fC.f答案：C解析：构造函数F(x)=f(x)-kx,则F(x)=f(x)-k0,函数F(x)在R上为单调递增函数.0,FF(0).F(0)=f(0)=-1,f-1,即f-1=,f,故C错误.4.已知常数a,b,c都是实数,f(x)=ax3+bx2+cx-34的导函数为f
3、(x),f(x)0的解集为x|-2x3.若f(x)的极小值等于-115,则a的值是()A.-B.C.2D.5答案：C解析：依题意得f(x)=3ax2+2bx+c0的解集是-2,3,于是有3a0,-2+3=-,-23=,则b=-,c=-18a.函数f(x)在x=3处取得极小值,于是有f(3)=27a+9b+3c-34=-115,则-a=-81,解得a=2.故选C.5.已知函数f(x)=(2x+1)ex,f(x)为f(x)的导函数,则f(0)的值为.答案：3解析：f(x)=(2x+3)ex,f(0)=3.6.已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)=e-x-1-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)
4、处的切线方程是.答案：y=2x解析：当x0时,-x0).(1)求f(x)在区间0,+)内的最小值;(2)设曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为y=x,求a,b的值.解(1)f(x)=aex-.当f(x)0,即x-ln a时,f(x)在区间(-ln a,+)内单调递增;当f(x)0,即x-ln a时,f(x)在区间(-,-ln a)内单调递减.当0a0,f(x)在区间(0,-ln a)内单调递减,在区间(-ln a,+)上单调递增,从而f(x)在区间0,+)内的最小值为f(-ln a)=2+b;当a1时,-ln a0,f(x)在区间0,+)内单调递增,从而f(x)在区间0,+)上的最
5、小值为f(0)=a+b.(2)依题意f(2)=ae2-=,解得ae2=2或ae2=-(舍去).所以a=,代入原函数可得2+b=3,即b=.故a=,b=.8.设函数f(x)=x3-kx2+x(kR).(1)当k=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)当k0时,求函数f(x)在区间k,-k上的最小值m和最大值M.解f(x)=3x2-2kx+1.(1)当k=1时,f(x)=3x2-2x+1,=4-12=-80,f(x)在R上单调递增,即f(x)的单调递增区间为(-,+),f(x)没有单调递减区间.(2)当k0时,f(x)=3x2-2kx+1,其开口向上,对称轴x=,且过点(0,1).当=4k2-12
6、=4(k+)(k-)0,即-k0,即k-时,令f(x)=3x2-2kx+1=0,解得x1=,x2=,注意到kx2x1k,从而kx2x10,f(x)的最小值m=f(k)=k.f(x2)-f(-k)=-k+x2-(-2k3-k)=(x2+k)(x2-k)2+k2+10,f(x)的最大值M=f(-k)=-2k3-k.综上所述,当k0,r0).(1)求f(x)的定义域,并讨论f(x)的单调性;(2)若=400,求f(x)在区间(0,+)内的极值.解(1)由题意知x-r,所求的定义域为(-,-r)(-r,+).f(x)=,f(x)=,所以当xr时,f(x)0.当-rx0.因此,f(x)的单调递减区间为(
7、-,-r),(r,+);f(x)的单调递增区间为(-r,r).(2)由(1)的解答可知f(r)=0,f(x)在区间(0,r)上单调递增,在区间(r,+)上单调递减.因此,x=r是f(x)的极大值点.所以f(x)在区间(0,+)内的极大值为f(r)=100.10.(20xx全国,文21)设函数f(x)=(1-x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x0时,f(x)ax+1,求a的取值范围.解(1)f(x)=(1-2x-x2)ex.令f(x)=0得x=-1-,x=-1+.当x(-,-1-)时,f(x)0;当x(-1+,+)时,f(x)0.所以f(x)在区间(-,-1-),(-1+,+)内单
8、调递减,在区间(-1-,-1+)内单调递增.(2)f(x)=(1+x)(1-x)ex.当a1时,设函数h(x)=(1-x)ex,h(x)=-xex0),因此h(x)在区间0,+)内单调递减,而h(0)=1,故h(x)1,所以f(x)=(x+1)h(x)x+1ax+1.当0a0(x0),所以g(x)在区间0,+)内单调递增,而g(0)=0,故exx+1.当0x(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取x0=,则x0(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)ax0+1.当a0时,取x0=,则x0(0,1),f(x0)(1-x0)(
9、1+x0)2=1ax0+1.综上,a的取值范围是1,+).二、思维提升训练11.若0x1x2ln x2-ln x1B.-x1D.x20,且x趋近于0时,xex-10,因此在区间(0,1)上必然存在x1x2,使得f(x1)=f(x2),因此A,B不正确.设g(x)=,当0x1时,g(x)=g(x2),即,所以x2x1.故选C.12.设直线l1,l2分别是函数f(x)=图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则PAB的面积的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+)D.(1,+)答案：A解析：由题意得P1,P2分别位于两段函数的图象
10、上.设P1(x1,ln x1),P2(x2,-ln x2)(不妨设x11,0x21,SPAB=|yA-yB|xP|=1.0SPAB1,故选A.13.已知函数f(x)=x3+x,对任意的m-2,2,f(mx-2)+f(x)0,f(x)为增函数.又f(x)为奇函数,由f(mx-2)+f(x)0知,f(mx-2)f(-x).mx-2-x,即mx+x-20.令g(m)=mx+x-2,由m-2,2知g(m)0恒成立,即解得-2x.14.设f(x)=-x3+x2+2ax.(1)若f(x)在区间内存在单调递增区间,求a的取值范围;(2)当0a0,得a-,故当a-时,f(x)在区间上存在单调递增区间.(2)令
11、f(x)=0,得两根x1=,x2=.所以f(x)在区间(-,x1),(x2,+)上单调递减,在区间(x1,x2)上单调递增.当0a2时,有x11x24,则f(x)在区间1,4上的最大值为f(x2).又f(4)-f(1)=-+6a0,即f(4)f(1),所以f(x)在区间1,4上的最小值为f(4)=8a-=-,得a=1,x2=2,从而f(x)在区间1,4上的最大值为f(2)=.15.设fn(x)=x+x2+xn-1,x0,nN,n2.(1)求fn(2);(2)证明:fn(x)在区间内有且仅有一个零点(记为an),且0an-.(1)解法一由题设fn(x)=1+2x+nxn-1.所以fn(2)=1+22+(n-1)2n-2+n2n-1,则2fn(2)=2+222+(n-1)2n-1+n2n.-得,-fn(2)=1+2+22+2n-1-n2n=-n2n=(1-n)2n-1.所以fn(2)=(n-1)2n+1.
