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1、第五章 导数与微分 (计划课时:1 2时) 1 导数的概念 ( 2 时)一 导数的背景与定义：1 背景：曲线的切线、直线运动的瞬时速度.2. 导数的定义: 定义的各种形式. 的定义. 导数的记法. 有限增量公式: 例1 求例2 设函数在点可导, 求极限 3. 单侧导数: 定义. 单侧可导与可导的关系. 曲线的尖点.例3 考查在点的可导情况.例4 设 讨论在点处的左、右导数与导数.二. 导数的几何意义:可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义.例5 求曲线在点处的切线与法线方程.三. 可导与连续的关系:Th1 若函数在点（左、右）可导，则在点（左、右）连续.例6 证明函数仅在点处可
2、导,其中为Dirichlet函数.四 导函数: 函数在区间上的可导性, 导函数, 导函数的记法. (注意:等具体函数的导函数不能记为 应记为 )例7 求下列函数的导数： ， .五 导函数的介值性: / 1 极值的定义例8 证明: 若则,有.2 取极值的必要条件:Th2 (Fermat定理)3 导函数的介值性:引理 (导函数的介值性)若函数在闭区间上可导, 且则 ( 证 )Th3 (Darboux定理)设函数在区间上可导且. 若为介于与之间的任一实数, 则 (设对辅助函数,应用系4的结果.) ( 证 ) Ex 1P9495 19 2 求 导 法 则( 4时)一 导数的四则运算法则: 推导导数四则
3、运算公式. (只证“”和“”)例1 求例2 求 ( 例3 求例4 证明: ( 用商的求导公式证明 ). 例5 证明: 例6 证明: .二 反函数的导数: 推导公式并指出几何意义.例8 证明反三角函数的求导公式. ( 只证反正弦 ) Ex 1P102 1，2. 三 复合函数的导数：推导复合函数的求导公式.例9 设求.例10 设为实数，求幂函数的导数. 解 例11 求 和例12 求 例13 求 四 取对数求导法: 例14 设, 求 例15 求 例16 设, 其中,且和均可导, 求 五 基本求导法则与公式: 1 基本求导法则.2基本初等函数导数公式. 公式表: 1P101.Ex 1P102 3，4.
4、3 参变量函数的导数1 设曲线的参变量方程为,设函数可导且证:(证法一) 用定义证明.（证法二） 由恒有或严格单调. ( 这些事实的证明将在下一章给出. ) 因此, 有反函数, 设反函数为), 有 用复合函数求导法, 并注意利用反函数求导公式. 就有 例1 求 2 若曲线由极坐标表示,则可转化为以极角为参数的参数方程:则例2 证明:对数螺线上所有点的切线与向径的夹角为常量. Ex 1P105 1，2，3. 4 高 阶 导 数一 高阶导数:定义: 注意区分符号和高阶导数的记法. 二 几个特殊函数的高阶导数:1. 多项式: 多项式的高阶导数.例1 求幂函数(为正整数)的各阶导数.例2. 正弦和余弦
5、函数: 计算、的公式.例3 和的高阶导数：例4 的高阶导数：例5 的高阶导数：例6 分段函数在分段点的高阶导数：以函数 求为例. 三 高阶导数的运算性质: 设函数和均阶可导. 则123 乘积高阶导数的Leibniz公式： 约定 （ 介绍证法.）例7 求 解 例8 其中二阶可导. 求 例9 验证函数满足微分方程 并依此求 解 两端求导 即 对此式两端求阶导数, 利用Leibniz公式, 有 可见函数满足所指方程. 在上式中令得递推公式注意到 和 , 就有时, 时, 四. 参数方程所确定函数的高阶导数:例6 求 解 Ex 1P109 16.5 微 分 一 微分概念: 1. 微分问题的提出: 从求正
6、方形面积增量的近似值入手，引出微分问题.2. 微分的定义:Th1 ( 可微与可导的关系 ).3. 微分的几何意义: 二 微分运算法则:一阶微分形式不变性. 利用微分求导数. 微商.例1 已知 求和 例2 已知 求和 三 高阶微分：高阶微分的定义： 阶微分定义为阶微分的微分， 即 （注意区分符号 的意义.）例3 已知 求 以例3为例, 说明高阶微分不具有形式不变性:在例7中, 倘若以求二阶微分, 然后代入, 就有 倘若先把代入, 再求二阶微分, 得到可见上述两种结果并不相等. 这说明二阶微分已经不具有形式不变性. 一般地, 高阶微分不具有形式不变性.四 微分的应用:1. 建立近似公式: 原理: 即 特别当时, 有近似公式 具体的近似公式如: 等. 2. 作近似计算: 原理: 例4 求 和 的近似值.例5 求 的近似值. ( 参阅1P138 E4 ) 3估计误差： 绝对误差估计： 相对误差估计： 例6（ 1P138 E5 ）设已测得一根圆轴的直径为，并知在测量中绝对误差不超过. 试求以此数据计算圆轴的横截面面积时所产生的误差. 4. 求速度: 原理: 例7 球半径以的速度匀速增大.求时,球体积增大的速度. 4P124 E53 ) Ex 1P116 15. 友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。
