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1、7.4 曲梁纯弯曲学习思路:本节介绍曲梁纯弯曲问题。对于曲梁，其几何形状并不具有轴对称性质， 但是对于纯弯曲问题，其任意横截面的内力具有轴对称性质。因此这是一个典型 的轴对称应力问题。由于问题属于轴对称应力，但是却不是轴对称位移，因此应该注意选取 的应力和位移表达式。问题性质确定后，主要工作仍然是通过边界条件确定轴对称应力表达式 的待定系数。除了曲梁纯弯曲应力分布分析，本节还讨论了曲梁的变形和位移。根据 分析，曲梁纯弯曲的横截面是保持平面的，但是弯曲应力沿横截面高度按双 曲线分布，这与直梁的弯曲应力是不同的。因此，平面假设用于曲梁是不准确的。学习要点：1. 曲梁纯弯曲边界条件；2. 曲梁弯曲应
2、力；3. 曲梁纯弯曲位移与平面假设。设有矩形截面的曲梁，如图所示。其内半径为a,外半径为b两端受弯矩 作用，设单位宽度的弯矩为 M。取曲率中心为坐标原点O，从梁的一端量取申。由于梁的所有径向截面上的弯矩均相同， 因此可以认为各个截面的应力分布是相同的， 也就是说应力分布是轴对称的。其应力分量满足轴对称应力公式P P二- + E+21np) + 2Ucr# = + EQ + 21np) + 2C根据边界条件可以确定待定常数A，B，C。本问题的边界条件为二 , 二 ”划杆二，%杆=0二0,将轴对称应力分量代入上述边界条件，可以得到= + 2Elnm + E + 2U 二 0 + 251ni + S
3、 + 2C = 0bAn + B(b2 In6 - a2 In a) + C(b2 - a2) = M4- + 251na + 5 + 2C = 0 + 2Elnb + E + 2C 二 0b( + 2Elno + E + 2C) 总( + 2丑lnb + E + 2C)二0.4In + B(b2 lnb - / In 位)+ C(b* -少)二 M不难看出上述公式的第三式是第一，第二式线性组合的必然结果。将其余三个方程联立求解。可以得 到N=(b2 -tj2)2 + 4ts2d2(ln-)2其中。将上述系数代入应力分量表达式cr = _L -+ 5(1 + 21n/?) + 2CP g P爲
4、二一=-=04 沟 - -+ +5(3+21n/?) + 2C，则4M 於亡,b ? 2i b 鮎、r = ( ln-+d In+7 In)N p2 app4Alf / 绐-b , 2121, 2 2xb = (- In+dln + tsln + d-c3)N p app上述应力分量表达式称为克洛文解。匸min扌许压应力6max育曲应力x-毋心抽应力分布如图所示。在内边界，即P = a,弯曲应力最大。中性轴，即=0 处，在靠近内边界一侧。挤压应力的最大值较中性轴更靠近内边界一侧。对于曲梁的弯曲位移，可将系数A, B, C代入轴对称应力的位移表达式tip 二+ Q + 讨) + 20. - 讨)
5、珈(hi /? -1) + (1 - 3v)Bp + 2(1- v)Cp + Isin % = 4?诃 + Hp - /sin cos pdu 巴=0，即认为P如图所示。，而其余待定常数H，K，I将由梁的约束条件来确定。假设：和点的位移为零，而且该点的径向微分线段沿申方向的转角也为零,将轴对称位移据表达式代入上述位移边界条件，则H 二0疋二+Q3）才 2Qi）陥111炖 f 卩）炖一 2U（1-卩）灿将上述待定系数回代轴对称应力的位移表达式ufl 二+-Q + I/) + 2Q - I/)Ep(ln # -1) + (1 - 3v)Bp + 2(1 - v)Cp + Isin + cos1 %
6、 = 4?诃 + Hp 一 1 sin 级 + 疋 cos p，则可得曲梁的位移。以下讨论平面截面的假设，为此考虑曲梁的环向位移，曲梁横截面上的任一径向微分线段的转角d为bp E对于曲梁的任一横截面，申为常数，因此横截面上的所有微分线段的转 角d均相等。这也就是说，曲梁的横截面保持平面。这与材料力学关于梁的弯曲 变形平面假设是一致的。但是，弯曲应力按双曲线分布显然与直梁的弯曲应力是不同的，而且 假设径向应力称=0和Tp0,就是认为纵向纤维仅受简单的环向拉压的假设对 于曲梁是不成立的。但是，由于平面假定的正确，所以对于曲率不大的曲梁，这 个误差并不是特别显著。因此，材料力学弯曲应力的计算公式在工
7、程中广泛 应用。7.5 曲梁受径向集中力学习思路:本节讨论曲梁作用径向集中力问题。曲梁在集中力作用下，已经不是轴 对称应力问题。对于弹性力学问题的求解，重要的问题是确定应力函数的形式。对于曲 梁作用径向集中力，借助于边界弯矩与应力函数的关系，找到应力函数的基本形 式，然后根据变形协调方程得到应力函数。对于应力函数中的待定系数，则根据 边界条件确定。学习要点：1. 曲梁径向集中力问题的应力函数；2. 边界条件；3. 曲梁应力。设有矩形截面的曲梁，如图所示。其内半径为a,外半径为b 端固定而 另一端受径向力F作用，设其为单位宽度。取曲率中心为坐标原点O，从梁的 一端量取申。根据曲梁受力分析，任一横
8、截面的内力，弯矩与sin申成正比。因此根据 应力函数的性质，假设问题的应力函数也与sin申成正比，即，将 上 式 代 入 变 形 协 调 方 程（兰+丄2+丄亘）（如+丄如+丄如）二,可以得到加）所需要满足的方程（空+丄3 一丄）（吃丄埜一厶丸Ap2 p Ap p1 d/j2 p Ap p2这个方程可以转换为常系数的常微分方程，其通解为fp） - Ap1 + B + C/7 + Dpn p将其代入应力函数表达式级f S）二3”m卩，则根据极坐标应力分量表达式应力分量为,可得曲梁现在的问题是利用面力边界条件确定待定常数A, B和D。本问题的面力边界条件为诃f(Q) = (Ap3 + B + C/? + Dp In /?)si=0?二匕讪円_ odp=-F将曲梁应力分量代入面力边界条件，可得求解上述方程，可以得到其中N = a2-b2 + (a2 +b2)a-a将上述计算所得的待定常数代入应力分量表达式，则曲梁的应力分量为)sin 0F . o2 +b2 aV b厂 _石(3/?)sin0NppF / a2 + b2 o2b2、評-丁+匚卄炉
