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1、二次谐波的产生及其解二次谐波或倍频是一种很重要二阶非线性光学效应，在实践中有广泛的应 用，如Nd:YAG激光器的基频光（1.064卩m）倍频成0.532pm绿光，或继续将0.532 卩m激光倍频到0.266m紫外区域。本节从二阶非线性耦合波方程出发，求解出产生的二次谐波光强小信号解， 并解释相位匹配对二次谐波产生的影响。1. 二次谐波的产生设基频波的频率为，复振幅为E；二次谐波的频率为（=2e），复1 1 2 2 1振幅E2。由基频波在介质中极化产生的二阶极化强度P，辐射出的二次谐波场 E 3 （z）所满足的非线性极化耦合波方程dE2 (z) . p 2 =(2)()(1-1)(1-2)-=i
2、 Z 亠 P(z )e-ik zdz2k22P2 (z)=S 咒(2)( g ,):E1 (z)E1 (z)e2ik12 0 2 1 1 1 1注意简并度D = 1， = 221dE ?(z).p 2 一(2= i 二0S 咒(2)1 ； , 2k 0212=i%(2)( ; , ): E (z)E (z)eiAkzn c 2 1 1 1 12dz1): E1 (z) E1 (z )唇(1-3)波矢失配量，(1-4)Ak = 2k k12写成单位矢量（光 波的偏振方向或电场的振动方 向）和标量的乘积 形式E3 = a3 E，基频光场可能有两种偏振方向，即a,E ,a；E，两种偏振方向可以是33
3、 31 11 1相互平行也可以是相互垂直，并有a3 -a3 = 1dE (z)2= inc2dza 咒(2)(3I : E2 (z)eiAkz2 2 1 1 1 1 1(1-5)基频波与产生的二次谐波耦合产生的极化场强度P（2），辐射出基频光场满足 的非线性极化耦合波方程。1dz2 P(2) (z )e-ik1z2k1(1-6)P1(z):(2)(一 ；，)：E2 (z)E* (z)ei(k2_kjz1 0 1 2 1 2 1dE (z).i二 iidz n c 1a2a1:E(z)E*(z) e-iAkz21(1-7)(1-8)如果介质对频率为,的光波都是无耗的，即13,远离共振区，则13兀
4、（2）（一； W W ）,兀（2）（-；WW ）都是实数。3 1 1 1 3 1进一步考虑极化率张量的完全对易对称性和时间反演对称性可以证明：咒(2 匸 a 咒(2)(- ; 一)a aeff 112121=a 咒(2)(一 ;,)：a a2 2 1 1 1 1二次谐波的耦合波方程组为:dE (z)i二 iidz cn1咒(2)E (z) E * (z ) e 一込 kz eff 21dE (z).2二 i Pdz cn2咒(2)E 2 (z)e iAkzeff 1(1-10)(1-11)(1-12)2. 二次谐波的小信号解E1(0)1E (0)=03图 1 倍频边界条件（1）、小信号解在小信
5、号近似下，基频波复振幅不随光波传输距离改变，(2-1)心=0dz并由边界条件E2（0）= 0，对二次谐波的耦合波方程（1-12）积分得:e (l Uc)E 2(0)ei(2-2)2 cn eff 1Aksin (AkL 2)二 iX(2)E 2 (0) Lei AkL 2cn eff 1AkL/ 22二次谐波的光强为：I(L)=18 cn E(L)222 0221=8 cn2 0 2(X(2)eff3、1nc2E (0 )|411AkLsm2 2_(AkL 2 丁丿(2-3)1 咤(X(2) E (0)42 cn eff 12利用3 =23 有效倍频系数（有效非线性光学系数）21和函数定义以及
6、得到小信号近似下的二次谐波解X (2 ) = 2deff effs i nxsmcyx)=xI = 8 c nE0 )|21 2 0 1 118 324d20 ef2 cn2(2I 丫1k 8 cn 丿01Lzsin c 2 fAkLI 2丿(2-4)(2-5)(2-6)(2-7)8 2 d 2 L( AkL )eff 12 sin c2 8 c3n n2 1 J 2 丿0 2 1亠口、匚川十/亠止古亠人”P 82d2 L2（AL）sc、小信号近似下倍频效率：耳= I sinc2 （2-8）P 8 c3n2n 1 J 2 丿101 3倍频效率正比于基频光束功率密度，输出倍频光强是基频波光强的平
7、方。同时由曼利罗关系，在产生一个二次谐波光子的同时，要湮灭两个基频波光子。转换效率正比于倍频系数的平方，即与正比于有效极化率系数的平方x（2）2。e（2）、二次谐波解的讨论AkL图2sin c2 (AkL)函数定义相位匹配带宽：由二次谐波光强最大值一半处的AkL宽度，定义允许的相 位失配量(2-9)Ak = 0.886k /LBW0.00.20.40.00.81.0IJcm)图 3 不同相位匹配因子倍频效率与晶体长度关系定义相干长度：如果相位失配量Ak工0，使倍频光强单调增长的一段距离为相 干长度LckLc 二两（2-10）由上面的讨论知，在小信号近似下，为获得高的倍频效率，首先应满足相位匹
8、配条件Ak二0，并且选用有效倍频系数大和较长的晶体，尽可能增强基频光的强 度。3. 二次谐波的大信号解(基频波存在损耗)产生二次谐波的耦合波方程为dE (z)i= i idz cn咒(2)E (z)E* (z ) e- iAkzeff 21dE (z).2= l1dz cn咒(2)E 2 (z) e - iAkzeff 1(3-1)讨论在相位匹配条件下，即Ak = 0，此时基频波和二次谐波的折射率相等，n二n12dE如果基频波存在损耗，1丰0dz二次谐波耦合波方程变为：(3-2)= l X(2)E (z)E*(z) dzcneff 21dE (z) ( ) ( )dzcneff 11d (E
9、E*) d (E E*)dz类似于曼利一一罗关系，作 一+ 亠运算，得到 dz+ E (z)2 二常数2由初始条件E (0) = 0;E (0)北01+e(z)i2dlE2(d 二(E2 (0)- |E2 (z)|)dznc1考虑到积分方程：dx 1J= tanh-ia2 - x2a将(2.3.3-5)整理成上式形式冋(z)|(0)2 - |e (z)|2)tanh-1E (z)( )咒(2)z n ceff1E2斜表示为:(z)| = |e (0)tanh(3-3)(3-4)(3-5)(3-6)(3-7)(3-8)定义倍频特征长度二次谐波光强为：SH/ 31-,n c1咒（2）E（0）eff
10、 1)1 丿(3-9)I (z)= -2= cn E2 o cn E (z)|202(0)2 tanh2SH(3-10)=I (0)tanh2L SH二次谐波与入射基频波光强比值基频光在晶体内光强为：T(o)1= tanh 2zLSHG(3-11)1= cn2 0 11 c= cn E2 o I (z )1(o)1(z)2E2(z )12 )(3-13)=I (0)sech2L1Lshg(0) = sech2zL-SHG(3-14)3图 4 基频光存在损耗条件下，倍频光和基频光光强与晶体长度关系相干长度还可写为：LSH(3-15)如LiNbO3晶体，非线性倍频系数d = 5.4xlO-9m/V,基频光波长1.064“m,eff折射率2.2,基频光光强25 MW/cm2，求得倍频特征长度为3.7cm。
