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1、基于MF-DFA的中国商品期货价格的多重分形实证分析苑莹 庄新田 东北高校 工商管理学院，辽宁 沈阳 110004摘要： 运用消退趋势波动分析方法，对之前较少被探讨的中国铜和大豆两个期货品种的价格时间序列进行实证探讨发觉，两种期货价格均存在明显的多重分形特征,仅用单一的标度指数对其进行描述是不充分的。进一步对其多重分形的成因进行分析，发觉期货价格的多重分形特征主要是由收益序列的波动相关性引起的，该相关性导致了价格的有偏随机游走，市场未达到弱式有效。关键词：资本市场困难性，消退趋势波动分析方法，期货价格1引言分形理论打破了传统金融学中整数维度的概念，从而引入了分数维，它以一个崭新的视角来刻画和描
2、述金融系统中各种困难现象，因此受到了各国学者的广泛关注。在将多重分形理论应用于经济系统方面，Mandelbrot et al最早于1997年创立了闻名的资产收益率多重分形模型（Multifractal Model of Asset Returns, 简记为 MMAR）用以描述金融资产价格改变规律1。此模型可以说明资产回报率的厚尾（Fat trail）与波动率（Volatility）的长期记忆等现象，并将多重分形的概念扩展到随机过程中，通过矩的标度特性提出多重分形过程，而以往所探讨的随机模型如 ARCH/GARCH、Lvy 过程、分数布朗运动（Fractal Brownian Motion，简记
3、FBM）等只能抓住价格波动的某一特征，却无法描述波动的长程相关性。因此，由 Mandelbrot 等提出的多重分形模型被认为是迄今为止最为全面的描述价格波动特征的模型，它不仅囊括了上述模型所描述的价格波动特征，更预见了在其他模型中没有体现的价格波动多重分形特性。正如 Mandelbrot（1999）在 Scientific American 上所指出的，多重分形分析可以复现金融市场猛烈振荡的金融交易，能得到金融资产价格在不同时间标度上的不同波动程度的具体信息，供应关于市场动向的概率估计值，显示市场易变性的实质，从而为无法预料的金融市场注入某些有序性2。此后，各国学者通过不同的多重分形方法对资本
4、市场的困难性进行了有益的探究，得到了很多较有价值的理论成果3-10。2002年，Kantelhardt11提出了多重分形消退趋势波动分析方法（MF-DFA），该方法较其他方法的优势在于它能够发觉非平稳时间序列中的长范围相关性，并且能够避开对相关性的错误推断，Norouzzaden12等人运用该方法对外汇汇率的多重分形特征进行了探讨。卢方元、胡学明及施锡铨13-15等人也分别运用该方法对我国股票市场进行了实证探讨，确认了股指收益率的多重分形特征。然而，在对资本市场进行多重分形特征分析时，绝大多数学者更多地关注于股票及外汇市场，而对同样重要的我国期货市场探讨的较少。事实上，自从九十年头我国第一家商
5、品期货市场成立以来，中国的商品期货市场有了长足的发展，尤其是铜和大豆两个期货品种，现已分别成为世界其次大期货市场，仅分别低于英国的伦敦金融交易所和美国的芝加哥期货交易所，因此在这样的背景下，本文运用MF-DFA方法对我国铜和大豆期货市场进行实证探讨，确认了市场中多重分形特征的存在。并通过将原始收益序列进行重排处理及相位随机化处理，对转换后的收益时间序列及原始时间序列进行MF-DFA分析，结合多重分形谱模型探讨了股票市场中多重分形特征与非线性时间序列的长程相关性及胖尾概率分布之间的联系，对商品期货价格的多重分形成因进行了探讨与探讨。2多重分形消退趋势波动分析方法Kantelhardt提出的MF-
6、DFA方法是验证一个非平稳时间序列是否具有多重分形性的有效方法，对给定长度为N的序列xi，i=1,2,.,N，MF-DFA方法如下：（1） 通过求和把原序列归并成一个新的序列： ，i=1,2, N （1）式中为xi的均值。（2）把序列yi分割成长度为s的Ns=int(N/s)个互不相交的等长区间，由于长度N常常不是s的整数倍，为了不丢弃尾部剩余部分，从序列尾部重复这一分割过程，因此得2Ns区间。（3）通过最小二乘法拟合每一子区间v（v=1,2,2Ns）上的局部趋势pv(j)函数消退子区间v中的局部趋势序列：,（j=1,2,s） （2）（4）分别计算2Ns个消退趋势子区间序列的平方均值： （3）
7、这里v=1,2,Ns，进而求出序列的q阶波动函数： （4）（5）确定波动函数的标度指数，先固定阶数q，通过在双对数图中分析Fq(s)与s的如下关系： （5）对每一个分割长度s，可求出相应的一个波动函数值Fq(s)，作出Ln(Fq(s)Lns函数关系图，其斜率为q阶广义Hurst指数h(q)。这里，当h(q)独立于q为一常数时，序列为单一分形，当h(q)为q的函数时，序列为多重分形。（6）通过MF-DFA得到的h(q）与Renyi 指数(q)相关，如下式： （6） （7）用来描述多重分形时间序列的多重分形谱f()可以通过下式得到： （7） （8） 3多重分形起因及多重分形强度3.1 多重分形行为
8、起因 通常时间序列中的多重分形行为存在两种缘由：一是由于小幅波动及大幅波动中不同的长范围相关性造成的；另一种是由于波动的胖尾概率分布引起的。对数据进行重排处理及相位随机化处理能够发觉上述两种缘由对多重分形起因贡献的大小，并能够说明多重分形的强度。这是因为对数据进行重排能够保留波动分布但是破坏了相关性，即经过重排的数据具有与原始数据相同的波动分布但是却没有记忆性。此外，对数据进行相位随机化处理可以弱化时间序列分布的非高斯性。3.2 多重分形强度 Koscielny-Bunde通过广义多重分形模型发觉，整个q阶广义Hurst指数h(q)可以通过下式进行拟合： （9）其中，(q)=-lnq+bq/l
9、n2。式（9）说明广义Hurst指数h(q)在无穷大时可以被两个独立参数来描述，这两个参数可以描述一个时间序列的多重分形强度。 在广义多重分形模型中，时间序列的强度可以通过(=max-mn)来描述，越大则多重分形强度越大，即： (10)4数据描述 数据选自我国铜期货指数1993年11月1日至2005年12月30日收盘指数（共3000个视察数据）及大豆/豆一期货指数1994年9月12日至2005年12月30日收盘指数（共2645个视察数据）。数据来源于文华软件，该指数数据是文华公司依据各个单月期货合约的成交量和持仓量的不同比例权重，计算出来的。进行实证探讨的数据是对数收益率序列，两个期货指数收益
10、序列的基本统计量如表1所示。表1. 收益序列的基本统计量统计量原始样本数均值标准差峰度偏度铜30000.0002820.0105334.78463-0.02765大豆/豆一26450.0000790.0101376.341740.142945实证探讨5.1 期货市场的多重分形特征分别对铜期货指数和大豆期货指数收益原始序列及变换后的收益序列进行一阶MF-DFA分析，依据式(1)-(8)，s的取值范围为3至N/5天（N为时间序列的总长度），当q从-10到10改变时，得到随q改变的广义Hurst指数h(q)如表2所示。从表2可以看出，当q从-10改变到+10时，铜期货指数原始收益序列的h(q)从0.
11、858递减到0.418，大豆期货指数原始收益序列的h(q)从1.115递减到0.483，两个指数的 h(q)显著地不为常数，说明铜期货指数与大豆期货指数收益率均存在较明显的多重分形特征，用单一分形模型对其进行描述是不合适的。对于给定的阶数q，大豆期货指数原始收益率的h(q)大于沪铜期货指数原始收益率的h(q)，说明大豆期货指数收益序列具有更强的状态长久性，更弱的状态反长久性。大豆期货指数原始序列h(q)的改变范围较铜期货指数h(q)的改变范围要大，说明大豆期货指数的多重分形特征比铜期货指数更明显。沪期货指数收益序列经重排后h(q)下降的幅度通常大于大豆期货指数收益序列重排后下降的幅度，说明铜期
12、货指数收益序列的相关程度要高于大豆期货指数收益序列的相关程度。对于两个不同的期货市场，经过变换的收益序列与原始序列相比，其h(q)值随q的改变幅度变小，多重分形特征明显减弱。这说明收益序列的长程相关性及波动的胖尾分布都会导致收益序列的多重分形特征。而且与重排序列相比，相位随机化序列的多重分形特征更弱。这一点可以从图1中明显的看出。5.2 多重分形强度及多重分形成因实证分析进一步，将MF-DFA方法与多重分形谱结合来分析多重分形的特征及成因。依据式(9)，对图1中期货指数时间序列的广义Hurst指数进行拟合，其结果如表3所示。从表3可以看出，h(q)随q的改变关系可以通过两个参数很好地描述，并且
13、全部拟合都在95%的置信区间内。此外，由于多重分形谱参数可以较好地描述多重分形特征的强度，因此由表3可知，两个指数的原始收益序列的多重分形强度都是很强的，其次是重排序列，最终为替代序列，这一点与图1的结果一样。因此，从以上分析可以看出，期货市场多重分形的成因是由两个因素共同作用的，其中收益序列的波动相关性起主导作用，是形成多重分形特征的主要缘由，但是收益序列的胖尾概率分布对多重分形特征的形起到了肯定的作用。表2. 期货指数收益率的广义Hurst指数阶数铜期货指数收益序列的h(q)大豆期货指数收益序列的h(q)q原始重排替代原始重排替代-100.858 0.667 0.653 1.115 0.9
14、64 0.743 -80.840.652 0.639 1.092 0.951 0.731 -60.814 0.632 0.62 1.056 0.9330.716-40.7730.602 0.593 1.005 0.907 0.699 -20.7020.553 0.552 0.9320.865 0.67700.594 0.494 0.502 0.612 0.577 0.648 20.545 0.456 0.479 0.569 0.557 0.645 40.502 0.424 0.458 0.54 0.545 0.638 60.465 0.395 0.438 0.5170.533 0.628 80.438 0.37 0.42 0.498 0.521 0.617 100.418 0.351 0.405 0.483 0.51 0.606h0.44 0.316 0.248 0.632 0.4550.137 (a) 铜期货 (b) 大豆期货图1.不同收益序列的广义Hurst指数表3. 原始序列，重排序列及替代序列的多重分形强度铜ab大豆ab
