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1、泰勒公式及其应用摘要：泰勒公式是数学分析中的重要知识,在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目的.本文主要阐述了利用泰勒公式进行近似计算和误差分析、求极限、求函数在某点处的高阶导数、求定积分、求某些微分方程的解、巧解行列式、判断函数极值与拐点、判断级数与广义积分的敛散性、证明不等式、证明根的唯一性等方面的应用及技巧.关键字：泰勒公式；应用；极限；不等式；敛散性；根的唯一存在性；极值.一.引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.本文主要探索的是泰勒公式的一些重要应用,并对不同的应用进
2、行相应的分析,并且通过例题分析说明泰勒公式的应用及注意事项和应用技巧.二.泰勒公式及其余项1.泰勒公式的基本概述若函数在处存在阶导数,则对,有, (1),即是比的高阶无穷小. (1)式称为在处的泰勒展开式.2.泰勒公式的重要形式泰勒定理中给出的余项称为佩亚诺余项.佩亚诺余项只是给出来余项的定性描述,它不能估算余项的数值,还需要进一步的进行定量描述.（1）拉格朗日余项若函数在内存在阶的连续导数,则对有 , (2)称为拉格朗日余项,其中在与之间,称(2)式为在的带拉格朗日余项的泰勒公式.当时, (2)式变成,其中在0与之间,称此式为带拉格朗日余项的麦克劳林公式.（2）柯西余项若函数在内存在阶的连续
3、导数,则对有 , (3),其中在与之间,称(3)式为在带柯西余项的泰勒公式.当时, (3)式变成,其中,称此式为带柯西余项的麦克劳林公式.（3）积分余项若函数在内存在阶的连续导数,则对有, (4) ,称(4)式为在带积分余项的泰勒公式. 3.常见函数的展开式；.三.泰勒公式的应用1.利用泰勒公式近似计算和误差估计在研究学习过程中,我们经常因为一些数据是无理数而无法得出具体的数值,但是通过泰勒公式就可以将这些数表示成容易计算并且可以计算的形式,进而得出具体的数值来近似该数.另外绝大多数的数值计算结果都会有误差,但是通过合理的计算方法就能最大限度的减少误差,同时减少计算的复杂程度.泰勒公式在近似计
4、算和误差估计中应用就显得十分突出.下面在具体例子展示泰勒公式计算的方便与精确.例1 计算的值,使其误差不超过.解 ,由,得到.有: , 故,当时,便有,从而略去而求得的近似值为例2 估计近似公式,的绝对误差.解 设,则因为 , , , , ,所以带有拉格朗日型余项的二阶麦克劳林公式为：,.从而： ,.2.利用泰勒公式求极限 正如我们所知的一样,有一些特殊的极限通过一些常规的方法是没有办法直接计算得出来的,比如常见的、型等,而通过利用泰勒公式将其中的一些项用泰勒展式替换将函数的极限化为类似于多项式有理式的极限,就可以解决这些问题的极限计算.例3 求的极限.解 因为分母为,故分子的泰勒展开式中取.
5、 , .例4 设函数在上二次连续可微,如果存在,且在上有界.求证：. 证明 要证明,即要证明:, ,当时, . 利用泰勒公式,即 , (5)记,因有界,所以,使得,故由(5)知, (6)对,首先可取,充分小,使得,然后将固定.因,所以,当时,从而由(6)式即得3.利用泰勒公式判断函数极值拐点例5 设在的某邻域内一阶可导,在处二阶可导,且,.证明(i)若,则在取得极大值；(ii) 若,则在取得极小值.证明 由条件,可得在处的二阶泰勒公式.由于,因此. (7)又因,故存在正数,当时,与同号.所以,当时, (7)式取负值,从而对任意有,即在取得极大值.同样对,可得在取得极小值.例6 判定是否是的拐点
6、？解 ,； ,； ,； ,.因为,所以不是的拐点.注： 用泰勒公式可证明：若在某个内阶可导,且满足,且,若：（1）为奇数,则为拐点；（2）为偶数,则不是拐点.4.利用泰勒公式判断级数的敛散性当我们所要判断的级数的表达式是由不同类型的函数构成的较为复杂的形式的时候,我们直接是很难判断该级数的敛散性的,但是如果利用泰勒公式将其形式化简成统一的形式,就可以利用相应的收敛准则快速地判断级数的收敛性了.下面通过例题说明如何利用泰勒公式判断级数的收敛性.例7 讨论级数的敛散性.解 由比较判别法可知：若,则正项级数和正项级数同是收敛和发散.为了选取中的的值,可以用泰勒公式研究通项,的阶. .因为当时, 所以
7、正项级数收敛.故收敛.即证.5.利用泰勒公式判断广义积分的敛散性.为正值函数,要判定的收敛性.若能找到恰当的,使,又比较判别法的极限形式可判别出无穷积分的收敛性.这里的问题也是如何选取,才能应用判别法则呢？运用泰勒公式通过研究的阶,就可以解决这类问题. 例8 研究广义积分的敛散性.解 因为, 所以是瑕点.由比较判别法可以知道,则时,收敛；当时, 发散.因为 .所以 .因为,所以广义积分发散.6.利用泰勒公式求函数在某点处的高阶导数如果泰勒公式已知,其通项中的加项的系数是,从而可求高阶导数数值,而不必依次求导.例9 写出的麦克劳林公式,并求与.解 因， (8)用替换(8)中的,得,由泰勒公式系数
8、的定义,在上述的麦克劳林公式中,与的系数分别为,.由此得到,.例10 求函数在处的高阶导数.解 设,则,在的泰勒公式为,从而,而中的泰勒展开式中含的项应为,从的展开式知的项为,因此,.7.利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式主要是因为当我们证明的不等式中含有初等函数和多项式的混合物时,我们可利用泰勒公式将其化为统一的形式,方便我们的证明.例11 当时,证明.证明 取,则,.带入泰勒公式,其中,得,其中.故当时,.例12 设在区间内二阶可导,且,则，其中均为正数；.证明 记,则.由于在区间内二阶可导,故在点处一阶泰勒公式成立.,在与之间.因为 ,所以 ，.分别取,则有；以上各式分别乘以,
9、得； . 将上面个不等式相加得因为,所以.即，从而.即证.注： 利用泰勒公式证明函数不等式,主要有两步：(1)构造一个函数,选一个展开点,然后写出在处带有拉格朗日余项的泰勒公式；(2)根据所给的最高阶导数的大小,函数的界或者三角不等式对进行放缩. 设函数在点附近二阶可导,由泰勒展式显然有结论：（a）若,则有；（b）若,则有.8.利用泰勒公式证明根的唯一存在性例13 设在上二阶可导,且,对,证明：在内存在唯一实根.分析：这里是抽象函数,直接讨论=0的根有困难,由题设在上二阶可导且,可考虑将在点展开一阶泰勒公式,然后设法应用介值定理证明.证明 因为,所以单调减少,又,因此时,故在上严格单调减少.在
10、点展开一阶泰勒公式有.由题设,于是有,从而必存在,使得,又因为,在上应用连续函数的介值定理,存在,使,由的严格单调性知唯一,因此方程在内存在唯一实根.9.利用泰勒公式巧解行列式若一个行列式可看做的函数（一般是的次多项式）,记作,按泰勒公式在某处展开,用这一方法可求得一些行列式的值.例14 求阶行列式 = . (9)解 记,按泰勒公式在处展开：, (10)易知 (11)由(11)得,.根据行列式求导的规则,有, ,(因为). 于是在处的各阶导数为, ,.把以上各导数代入(10)式中,有若,有,若,有.10.利用带积分型余项的泰勒公式求定积分例15 计算.解 设，则，.注: 由带积分余项的泰勒公式
11、可得以下引理.引理： 若函数,在闭区间上存在连续的阶导数，则有 ，.11.利用泰勒公式求某些微分方程的解泰勒公式在常微分方程数值求解中的应用.解析法很难求解的常微分方程,用数值方法求其特解是一种常见的方法,一般用逐步逼近法来进行,其中泰勒公式是常用的工具.下面,就应用泰勒公式求解具有给定和初值的联立方程： 给出初值.我们用如下形式表示一个和的联立方程组： (12)求方程组(12)通过点的特解,其中已知我们设想用一种逼近计算求出在下列各点处的近似值,其中为轴上选取的恰当步长.现在,设在处,已求出的近似值,且表示为由泰勒公式可知： . (13)令,即可得出计算值的公式. (14)其中 , , ,
12、,当给定了初值条件时,由方程(14),令,则得出：其中,在取近似值时的保留项数,取决于步长及所需的精确度.当求出,后,再令,可求出,后面依次类推.取近似值时所要保留的项数,也可由上同样处理.为了说明以上方法,下面举个简单例子.例16 求：的解,其初始条件为,处, ,.解 首先,我们可选定步长,并依次计算等处的近似值,由逐次求导得出,.因此在处,有,令,则方程组(14)给出 =.接着在处,有；令,由方程(14)：.这个过程可以根据需要不断地重复进行.四.总结本文主要介绍了泰勒公式以及它的多个应用,使我们对泰勒公式有了更深一层的理解,对怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识.只要在解题训练中注意分析,研究题设条件及其形式特点,并把握上述处理规则,就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧.参考文献1刘玉琏,傅沛仁编.数学分析讲义M.北京：高等教育出版社,2003：233-
